Overordnede kursusmål
Den moderne analyse af randværdiproblemer for partielle
differentialligninger (PDE) anvender pseudodifferentielle
operatorer. Udover at lokalt etablere eksistens, entydighed og
regularitet af løsninger af en stor klasse af elliptiske PDE
problemer, kan denne analyse forbindes med værktøjer fra topologi,
differentialgeometri samt mikrolokalanalyse til at give yderligere
grundlæggende indsigt i egenskaber og opførsel af løsninger. I
visse tilfælde kan denne indsigt forbedre den matematiske
modellering, den fysiske forståelse, samt den numeriske
løsningseffektivitet og -stabilitet for et givet randværdiproblem.
Formålet med dette kursus er at undervise i
standard-pseudodifferentialoperatorer med glatte symboler, inkl.
formel definition, afbildningsegenskaber, symbol-kalkyle, og
konstruktion af parametrix. Dette anvendes i kurset til analyse af
udvalgte randværdiproblemer.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
- Gøre rede for relevans og grundegenskaber af symboler af
standard-pseudodifferentialoperatorer.
- Vise egenskaber af samt anvende kalkylen af symboler af
standard-pseudodifferentialoperatorer.
- Konstruere symboler af sammensatte og adjungerede
standard-pseudodifferentialoperatorer.
- Vise afbildningsegenskaber af standard-ps.d.o.
- Konstruere symboler for parametrices af elliptiske ps.d.o.
- Konstruere og vise resultater vedr. symboler ved lokalisering
af randværdiproblemer via diffeomorfier.
- Anvende ps.d.o. i analysen af lokale elliptiske
randværdiproblemer.
- Vise resultater vedr. samspillet mellem Essential Support af
ps.d.o. og Wavefront Sets af distributioner.
Kursusindhold
Klasser af glatte symboler: definition, sammensætning og
adjungering. Fourier integral-repræsentation og Schwartz-kerner af
ps.d.o. Afbildningsegenskaber af standard-ps.d.o. Parametricer af
elliptiske ps.d.o. Essential support, wavefront set og microlocal
regularity. Layer potentials. Transformation ved diffeomorfier og
nul-udvidelse.
Litteraturhenvisninger
Noter samt uddrag fra lærebøger forberedt af underviseren. Bl.a.
vil der blive gennemgået dele af Michael E. Taylor, "Partial
Differential Equations II", Springer, 2011, samt af Lars
Hörmander, "The Analysis of Linear Partial Differential
Operators III", Springer, 1985.
Sidst opdateret
08. februar, 2018
