Overordnede kursusmål
Mange videregående matematiske discipliner, fx Fourier analyse,
numerisk analyse, variationsregning, differential- og
integraloperatorteori, bygger på et fælles grundlag som bl.a.
omfatter grundlæggende begreber og abstraktioner knyttet til
lineære rum af funktioner (funktionalanalyse). Det er hensigten med
kurset at tilvejebringe en række grundlæggende begreber fra
funktionalanalyse og således lette den studerendes adgang til
studiet af avancerede matematiske strukturer med udspring i
naturvidenskaberne og ingeniørvidenskaberne og adgangen til den
nyeste tekniske og matematiske litteratur.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
- Angive funktionsrum og følgerum, der anvendes i
funktionalanalyse og angive deres egenskaber.
- Angive og relatere definitionerne af metriske rum, normerede
vektorrum, Banach-rum, dual rum, refleksive rum, indreprodukt-rum,
og Hilbert-rum.
- Gøre rede for fundamentale begreber som fx isomorfier,
fuldstændighed, separabilitet, ortogonalitet og dimension.
- Angive, relatere og bestemme forskellige former for konvergens
i normerede vektorrum.
- Konstruere matematiske beviser af metodisk karakter.
- Formulere, forklare og bevise grundlæggende sætninger inden for
funktionalanalyse.
- Identificere og omformulere konkrete problemstillinger inden
for ingeniørvidenskaben ved hjælp af funktionalanalytiske
begreber.
- Løse konkrete matematiske problemer ved hjælp af abstrakte
resultater fra funktionalanalysen.
Kursusindhold
Begrænsede og ubegrænsede lineære operatorer i normerede vektorrum.
Fuldstændiggørelse af normerede vektorrum. Konstruktion af L^p-rum
ved fuldstændiggørelse af rum af kontinuerte funktioner. Generelle
Banachrum og Hilbertrum. Projektionssætningen, Begrænsede og
ubegrænsede operatorer i Hilbertrum. Svag og stærk konvergens.
Baires kategorysætning. Hahn-Banach sætningen. "Open
Mapping" sætningen. "Uniform Boundedness" sætningen.
"Closed Graph" sætningen. Spektralsætningen for kompakte,
selvadjungerede operatorer i separable Hilbert rum. Anvendelser af
funktionalanalytiske metoder indenfor fx partielle
differentialligninger, wavelet-teori eller optimeringsproblemer.
Litteraturhenvisninger
Erwin Kreyszig, “Introductory Functional Analysis with
Applications”, John Wiley and Sons, 1989. Bogen kan købes i
Polyteknisk Boghandel.
Sidst opdateret
19. maj, 2025
