Overordnede kursusmål
Brugen af model-baserede simuleringværktøjer på moderne computere
bliver brugt stadigt mere i akademiske og industrielle miljøer til
brug for forbedring af ingeniørmæssige designs og
beslutningsstøtte.
Formålet med kurset er at give deltagere i kurset et solidt
kendskab til udviklingen i teori og praksis ved brug af
videregående numeriske beregningsmetoder til effektiv løsning af
differentialligninger og til prediktering i natur- og
ingeniørvidenskaberne. Dette inkluderer at udvikle, analysere og
anvende avancerede numeriske metoder og algoritmer til løsning af
vilkårlige differential ligninger (fx. ODE/PDE/SDE). Vi vil udvikle
og generalisere ideer fra Finite Difference metoder, Fourier
metoder til brug for konstruktion af moderne fleksible multi-domain
metoder som for eksempel Diskontinuerte Galerkin Finite Element
Metoder og Spectral Element Metoder. Gennem kurset vil deltagerne
opnå kendskab til og erfaring med brug af højere ordens Spektrale
Metoder til numerisk løsning og prediktering og studie af
matematiske problemer med analytiske løsninger der er svære at
bestemme eller ikke er kendte. Metoderne er relevante for
videnskabelige beregninger, high perrformance computing (HPC),
herunder moderne usikkerhedsberegninger med fokus på kvantificering
af usikkerhed (UQ) og data-dreven maskinlæring (SciML). Det sidste
project i kurset kan defineres indenfor et videnskabeligt område
der er relevant for deltageren.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
- Anvende basale principper for approksimation/diskretisering af
spektrale metoder.
- Anvende Fourier transformationer.
- Analysere konvergens of stabilitetsegenskaber for spektrale
metoder.
- Implementere og løse randværdiproblemer for partielle
differentialligninger.
- Implementere metoder til tidsintegration til løsning af
semi-diskrete ligningssystemer.
- Implementere og anvende algoritmer til periodiske og
ikke-periodiske problemer.
- Konstruere spektrale approksimation af partielle afledede.
- Implementere spektrale metoder i Matlab.
- Skrive rapporter og tydeligt kommunikere, diskutere og
konkludere på baggrund af ideer og opnåede resultater.
Kursusindhold
Emner der dækkes i kursus inkluderer:
- Spektrale approksimations metoder
- Fourier approksimations metoder (periodisk)
- Polynomie approksimations metoder (ikke periodisk)
- Tidsintegration og stabilitetsanalyse
- Løsning af lineare og ikke-lineare PDE problemer
- Numerisk løsning af dynamiske systemer
- Konsistens og konvergensegenskaber for spektrale metoder
- Numeriske integration
- Udledning of analyse af avancerede algoritmer (fx. via projekter)
Litteraturhenvisninger
D. A. Kopriva. (2009) "Implementing Spectral Methods for
Partial Differential Equations: Algorithms for scientists and
Engineers". Springer.
Sidst opdateret
02. maj, 2024