Overordnede kursusmål
Kurset giver et solidt kendskab til teori og praksis ved brug af
Scientific Computing metoder til løsning af differentialligninger i
natur- og ingeniørvidenskaberne. Deltagerne lærer at udvikle,
analysere, implementere og anvende forskellige numeriske metoder og
algoritmer til løsning af både steady-state og tidsafhængige
ordinære (ODEs) samt partielle differentialligningssystemer (PDEs).
Teknikkerne er relevante for vilkårlige differentialligninger,
inkl. stokastiske differentialligningssystemer (SDEs). Herunder
introduceres data-drevne metoder indenfor det nye område Scientific
Machine Learning (SciML). SciML kombinerer teknikker inden for
matematisk-fysisk modellering, scientific computing og statistik.
De opnåede erfaringer kan anvendes til løsning, analyse og studie
af matematiske problemer som opstår i natur- og
ingeniørvidenskabelige anvendelser.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
- Beskrive, analysere og anvende fundamentale principper til
løsning af grænseværdi-problemer (BVPs) beskrevet ved ordinæe eller
partielle differentialligningssystemer
- Analysere og udlede ordens, konvergens og stabilitetsegenskaber
for finite-difference metoder
- Udlede finite-difference skemaer til numerisk løsning af
grænseværdi-problemer (BVPs) med Dirichlet, Neumann og Robin
grænsebetingelser
- Designe, analysere og implementere numeriske metoder til
effektiv løsning af elliptiske ligningssystemer
- Udlede og implementere "deferred correction" metoder
til løsning af 2-punkt BVPs og elliptiske liginger
- Udlede og analysere stationære iterative "defect
correction" metoder, herunder multigrid metoder, til løsning
af store lineære ligningssystemer
- Beskrive og implementere matrix-frie konjugerede gradient
metoder, prækonditionerede konjugerede gradient metoder og
GMRES-metoder til løsning af lineære ligningssystemer
- Beskrive, implementere og analysere iterative multi-grid
metoder
- Analysere konvergens og stabilitet for numeriske metoder til
løsning af parabolske og hyperbolske ligninger
- Analysere, udlede og implementere numeriske metoder til løsning
af blandede og ikke-lineære systemer af partielle
differentialligninger
- Opnå erfaring med introducerede teknikker til scientific
machine learning
Kursusindhold
Emnerne der dækkes i kurset inkluderer:
- Analyse af metoder til numeriske løsning af 2-punkt
grænseværdi-problemer (BVP)
- Egenskaber ved metoder til numerisk løsning af ordinære og
partielle differentialliginger
(konsistens, orden of accuracy, stabilitet, konvergens)
- Newtons metode til løsning af 2-punkt grænseværdi-problemer (BVP)
- Numeriske metoder til grænseværdi-problemer (BVP) med varierende
konduktivitet
- Deferred-correction metoder til BVPs
- Analyse af numeriske metoder til løsning af elliptiske
ligningssystemer
- Iterative metoder til løsning af store linære ligningssystemer
- Konjugeret gradient metoder, prækonditioneret konjugeret gradient
metoder, og GMRES-
metoder til løsning af lineære ligningssystemer
- Newton-Krylov metoder til ikke-lineære ligningssystemer
- Multi-grid metoder til effektive iterative metoder til løsning af
store lineare ligningssystemer
- Analyse af metoder til numeriske løsning af parabolske og
hyperbolske ligninger
- Metoder til blandede og ikke-linære PDEs
- Metoder til Scientific Machine Learning
Sidst opdateret
02. maj, 2024