Overordnede kursusmål
At udstyre deltagerne med det matematiske grundlag for den del af
den avancerede lineær algebra, som er brugt anvendt matematik,
statistik, fysik, maskinlæring, og data science. Kursets hovedfokus
er på endeligdimensionelle reelle eller komplekse vektorrum
udstyret med et indre produkt, lineære transformation på sådanne
rum og matrixfaktoriseringer så som QR, SVD, og DFT/FFT.
Undervisningsstilen er tavle-og-kridt forelæsninger og regneøvelser
med papir-og-blyant. Computerprogrammer som Maple, Matlab, Python
osv. vil kun spille en marginal rolle og vil primært blive brugt,
når det egner sig til at illustrere teorien. Kursets mål er at give
indsigt i den lineære algebra, der er nyttig for løsning af en lang
række tekniske problemer. Kurset sigter mod at formulere alle
resultater præcist og give fuldstændige beviser for dem. Dette vil
styrke evnen til at håndtere og forstå abstrakte matematiske
begreber, resultater og beviser, samt til selv at konstruere
(simplere) matematiske beviser af teknisk karakter.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
- Give eksempler på konkrete vektorrum, normer og indre
produkter
- Forklare konceptet lineære transformationer og de tilhørende
begreber (kernen, billedrummet, rang, søjlerummet, osv.)
- Forstå virkningen af matrixfremstillinger (blok, Householder,
hermitisk, unitær, normal, osv.)
- Forstå betydningen af matrixfaktoriseringer og
dekomponeringer
- Anvende og bevise spektralsætningen
- Anvende og bevise singulær værdi-dekompositionen
- Beskrive den diskrete Fourier-transformation og dens
egenskaber
- Udføre et matematisk bevis
Kursusindhold
Lineær algebra er gren af matematikken, der er brugt overalt i
natur- og ingeniørvidenskaberne. I dette kursus gennemgås
* Vektorer, matricer, direkte sum og Kroneckerproduktet af
matricer.
* Et udvalg af matrixtyper: Blokmatricer, Householder,
hermitisk,positiv (semi-)definit, unitær, ortogonal projektion,
normal, cirkulær, pseudoinvers, kvadratroden, osv.).
* Norm, indreprodukt, induceret norm, Frobenius norm, osv.
* Matrixfaktoriseringer/diagonaliseringer: QR-faktorisering, Schur
triangulering, spektral (egenværdi/egenvektor), Jordan normalform,
singulær værdi-dekompositionen (SVD), polærdekompositionen.
* Specielle lineære transformationer: Householder reflektion,
foldning (cirkulantmatrix), Diskret (og hurtig) Fourier
transformation (DFT/FFT).
* Gershgorins cirkelsætning (begrænsning af egenværdier),
Foldningssætningen, Cholesky-faktorisering
Kurset er en fortsættelse af den lineære algebra fra Matematik 1,
men med fokus på beviser og indsigt og med mindre fokus på
CAS-udregninger. Vi vil blandt andet bevise dimensionssætningen og
spektralsætningen, som indgår i Matematik 1-pensum uden bevis.
Beviserne i kurset vil så vidt muligt følge argumenter der direkte
muliggører stabile numeriske implementeringer. Fx vil beviset af
QR-faktoriseringen (som i sig selv er et vigtigt værktøj for
numerisk løsning af Least-Square Fit problemer og beregning af
egenværdier) benytte Householder-transformationer. Kurset vil dog
ikke indeholde selve implementeringen af fx QR-faktorisering.
Kursets fokus er at beviser skal give indsigt i de matematiske
værktøjer.
Litteraturhenvisninger
Stephan Ramon Garcia og Roger A. Horn: A Second Course in
LinearAlgebra, Cambridge Mathematical Textbooks 2017
Supplementerende bog: Linear Algebra Done Wrong by Sergei Treil,
https://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/LADW_2017-09-04.pdfSidst opdateret
02. maj, 2024