01020 Videregående Lineær Algebra

2024/2025

Kursusinformation
Advanced Linear Algebra
Dansk
5
Bachelor
Retningsspecifikt kursus (BSc), Matematik og Teknologi
Teknologiske linjefag, Matematik og Teknologi
F2B (tors 8-12)
Campus Lyngby
Forelæsninger (på dansk) og øvelser
13-uger
F2B
Skriftlig eksamen og bedømmelse af opgave(r)
Et antal afleveringer skal godkendes for at få adgang til den skriftlige eksamen
Skriftlig eksamen: 4 timer
Alle hjælpemidler - uden adgang til internettet
bestået/ikke bestået , intern bedømmelse
01001/01005 , 01001 eller første halvdel af 01005, specielt følgende emner: Matricer og Matrixalgebra, Determinanter, Vektorrum, Lineære afbildninger, Egenværdier og Egenvektorer, Similaritet og Diagonalisering og Symmetriske Matricer.
Jakob Lemvig , Lyngby Campus, Bygning 303B, Tlf. (+45) 4525 3051 , jakle@dtu.dk
Jens Karl Gravesen , Lyngby Campus, Bygning 303B, Tlf. (+45) 4525 3064 , jgra@dtu.dk
01 Institut for Matematik og Computer Science
I studieplanlæggeren
Kontakt underviseren for information om hvorvidt dette kursus giver den studerende mulighed for at lave eller forberede et projekt som kan deltage i DTUs studenterkonference om bæredygtighed, klimateknologi og miljø (GRØN DYST). Se mere på http://www.groendyst.dtu.dk
Overordnede kursusmål
At udstyre deltagerne med det matematiske grundlag for den del af den avancerede lineær algebra, som er brugt anvendt matematik, statistik, fysik, maskinlæring, og data science. Kursets hovedfokus er på endeligdimensionelle reelle eller komplekse vektorrum udstyret med et indre produkt, lineære transformation på sådanne rum og matrixfaktoriseringer så som QR, SVD, og DFT/FFT.

Undervisningsstilen er tavle-og-kridt forelæsninger og regneøvelser med papir-og-blyant. Computerprogrammer som Maple, Matlab, Python osv. vil kun spille en marginal rolle og vil primært blive brugt, når det egner sig til at illustrere teorien. Kursets mål er at give indsigt i den lineære algebra, der er nyttig for løsning af en lang række tekniske problemer. Kurset sigter mod at formulere alle resultater præcist og give fuldstændige beviser for dem. Dette vil styrke evnen til at håndtere og forstå abstrakte matematiske begreber, resultater og beviser, samt til selv at konstruere (simplere) matematiske beviser af teknisk karakter.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
  • Give eksempler på konkrete vektorrum, normer og indre produkter
  • Forklare konceptet lineære transformationer og de tilhørende begreber (kernen, billedrummet, rang, søjlerummet, osv.)
  • Forstå virkningen af matrixfremstillinger (blok, Householder, hermitisk, unitær, normal, osv.)
  • Forstå betydningen af matrixfaktoriseringer og dekomponeringer
  • Anvende og bevise spektralsætningen
  • Anvende og bevise singulær værdi-dekompositionen
  • Beskrive den diskrete Fourier-transformation og dens egenskaber
  • Udføre et matematisk bevis
Kursusindhold
Lineær algebra er gren af matematikken, der er brugt overalt i natur- og ingeniørvidenskaberne. I dette kursus gennemgås
* Vektorer, matricer, direkte sum og Kroneckerproduktet af matricer.
* Et udvalg af matrixtyper: Blokmatricer, Householder, hermitisk,positiv (semi-)definit, unitær, ortogonal projektion, normal, cirkulær, pseudoinvers, kvadratroden, osv.).
* Norm, indreprodukt, induceret norm, Frobenius norm, osv.
* Matrixfaktoriseringer/​diagonaliseringer: QR-faktorisering, Schur triangulering, spektral (egenværdi/​egenvektor), Jordan normalform, singulær værdi-dekompositionen (SVD), polærdekompositionen.
* Specielle lineære transformationer: Householder reflektion, foldning (cirkulantmatrix), Diskret (og hurtig) Fourier transformation (DFT/FFT).
* Gershgorins cirkelsætning (begrænsning af egenværdier), Foldningssætningen, Cholesky-faktorisering

Kurset er en fortsættelse af den lineære algebra fra Matematik 1, men med fokus på beviser og indsigt og med mindre fokus på CAS-udregninger. Vi vil blandt andet bevise dimensionssætningen og spektralsætningen, som indgår i Matematik 1-pensum uden bevis. Beviserne i kurset vil så vidt muligt følge argumenter der direkte muliggører stabile numeriske implementeringer. Fx vil beviset af QR-faktoriseringen (som i sig selv er et vigtigt værktøj for numerisk løsning af Least-Square Fit problemer og beregning af egenværdier) benytte Householder-transformationer. Kurset vil dog ikke indeholde selve implementeringen af fx QR-faktorisering. Kursets fokus er at beviser skal give indsigt i de matematiske værktøjer.
Litteraturhenvisninger
Stephan Ramon Garcia og Roger A. Horn: A Second Course in LinearAlgebra, Cambridge Mathematical Textbooks 2017
Supplementerende bog: Linear Algebra Done Wrong by Sergei Treil, https:/​/​www.math.brown.edu/​~treil/​papers/​LADW/​LADW_2017-09-04.pdf
Sidst opdateret
02. maj, 2024