Overordnede kursusmål
At sætte de studerende i stand til at analysere ikke-lineære
dynamiske systemer samt forstå disse systemers kompleksitet. Mange
modeller i naturvidenskab og ingeniørvidenskaberne beskrives vha
differentialligninger og tidsligt afhængige variable. I teorien for
dynamiske systemer studerer man disse problemer og forsøger at
besvare spørgsmål som: Hvordan opfører systemet sig efter lang tid?
Hvordan afhænger systemet af parametre? Det er eksempler på vigtige
spørgsmål i anvendelserne, og teorien for dynamiske systemer er
derfor vigtig for de anvendte videnskaber. Dynamisk systemer er
også et fascinerende matematisk emne, der kombinerer de fleste
hjørnesten i matematikken, specielt analyse og geometri.
Dette kursus ville lægge det matematiske fundament for de mere
avancerede kurser: 01257 Videregående modelling - Anvendt
matematik, hvor de studerende får muligheden for at anvende
dynamisk system teori på konkrete problemstillinger i modellering
01621 Videregående Dynamiske Systemer: Global teori
01622 Videregående Dynamiske Systemer med teknologiske anvendelser.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
- Bestemme faseportrætter af lineære ordinære
differentialligningssystemer.
- Analysere stabilitet af systemer.
- Bestemme og udnytte hyperbolicitet i analyse af
ligevægtspunkter.
- Operere med stabile mangfoldigheder, ustabile mangfoldigheder
og centermangfoldigheder i studiet af ligevægtspunkter.
- Topologisk ækvivalens og indeks teori.
- Anvende Poincaré-Bendixon sætnigen og andre teknikker til at
afgøre eksistens af grænsecyckler.
- Klassificere lokale bifurkationer og bestemme de mulige lokale
bifurkationer i konkrete tilfælde.
- Anvende Hartman-Grobman sætningen om linearisering til at give
kvalitativ beskrivelse af dynamik i nærheden af et hyperbolsk
ligevægtspunkt.
- Kombinere de ovenstående punkter til at give et globalt
faseportræt af visse dynamiske systemer.
- Poincaré afbildninger og kaos
Kursusindhold
Faseportrætter af lineære systemer. Stabile, ustabile og center
mangfoldigheder. Lokal bifurkationsanalyse. Stabilitetsanalyse
inklusiv Hartman-Grobman Sætningen. Teori om plane dynamiske
systemer, herunder Poincaré-Bendixons sætning. De matematiske
teknikker vil løbende blive anvendt på problemstillinger fra kemi,
fysik og biologi.
Sidst opdateret
04. maj, 2023
