Overordnede kursusmål
“Uncertainty quantification” (UQ, usikkerhedskvantificering) er en
gren af matematikken der beskriver hvordan vi karakteriserer og
vurderer usikkerheder i praktiske beregningsmodeller. UQ involverer
både teori og beregningsmetoder på tværs af stokastisk analyse,
statistik modeller og scientific computing.
Dette kursus giver en introduktion til state-of-the-art metoder til
kvantificering og reduktion af usikkerhederne i
beregningsmodellerne. UQ er et altafgørende element til forbedret
analyse og forudsigelse i en række praktiske anvendelser i fx
tomografi, materialevidenskab, rumlig statistik og pålidelighed.
Kurset er relevant for studerende i både anvendt matematik og
ingeniørvidenskab. Kurset given den nødvendige matematiske baggrund
for forståelse af teori og metoder i UQ, og stoffet vil blive
illustreret med Python computer-øvelser. Eksempler i kurset vil
komme fra bl.a. affoldning (”deconvolution”), diffusion og
konstuktionsmekanik.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
- Anvende Monte Carlo-metoder og vurdere deres konvergens.
- Diskretisere Gaussiske uendelig-dimensionelle stokastiske
variable (fx. Karhunen-Loéve-ekspansion).
- Forstå simple stokastiske elliptiske partielle
differentialligninger og “forward well-posedness”.
- Anvende en statistisk tilgang til at løse inverse problemer
(fx. via ”maximum likelihood”-estimering).
- Beskrive modellerings- og beregnings-elementer af den
Bayesianske tilgang til inverse problemer.
- Formulere forskellige typer støjmodeller og priors (fx
konjugerede priors).
- Beskrive relevante Bayesianske strategier og implementere de
tilsvarede beregingsmetoder for praktiske problemer (fx Markov
chain Monte Carlo).
- Fortolke og forstå UQ-resultater.
Kursusindhold
Kurset beskriver fundamentale aspekter of “uncertainty
quantification” (UQ, usikkerhedskvantificering) for inverse
problemer. Vægten ligger på både beregningsmetoder (fx Monte Carlo,
”random field”-diskretisering, Markov chain Monte Carlo) og
teoretiske aspekter (fx simple beviser, konvergensegenskaber,
well-posedness).
Vi starter med en generel introduktion til UQ og
sandsynlighedsteori, via simple eksempler som viser, hvad UQ er, og
hvad vi bruger det til. Vi vil også dække Monte Carlo-metoder til
simulering af stokastiske variable og estimering. Derefter
gennemgår vi basale elementer af UQ for ”forward”-problemer med
fokus på modellering og diskretisering af stokastiske variable og
”random fields” samt ”forward well-posedness”; de tilhørende
beregningseksempler vi også blive introduceret hér. Hovedemnet for
kurset er UQ for inverse problemer – vi vil præsentere simple
inverse problemer samt den statistiske tilgang til at løse dem med
vægt på Bayesiansk inferens, dvs. hvordan likelihood/støj-modeller
og priors indgår som elementer af regularisering. Løsningen af
Bayesianske inverse problemer, i form af statistiske posteriors,
beregnes vha. Markov chaing Monte Carlo-sampling.
Målet med kurset er at give praktisk erfaring, dvs. de studerende
vil lære at anvende metoder og fortolke resultaterne, og derfor vil
forelæsningerne blive fulgt op med praktiske øvelser.
Sidst opdateret
20. april, 2022
