Kurset giver et solidt kendskab til teori og praksis ved brug af Scientific Computing metoder til løsning af differentialligninger i natur- og ingeniørvidenskaberne. Deltagerne lærer at udvikle, analysere, implementere og anvende forskellige numeriske metoder og algoritmer til løsning af både steady-state og tidsafhængige ordinære (ODEs) og partielle differentialligningssystemer (PDEs). Teknikkerne er relevante for vilkårlige differentialligninger. Herunder introduceres data-drevne metoder indenfor det nye område Scientific Machine Learning (SciML). SciML kombinerer teknikker inden for matematisk-fysisk modellering, scientific computing og statistik. De opnåede erfaringer kan anvendes til løsning, analyse og studie af matematiske problemer som opstår i natur- og ingeniørvidenskabelige anvendelser. En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:

• Beskrive, analysere og anvende fundamentale principper til løsning af grænseværdi-problemer (BVPs) beskrevet ved ordinæe eller partielle differentialligningssystemer
• Analysere og udlede ordens, konvergens og stabilitetsegenskaber for finite-difference metoder
• Udlede finite-difference skemaer til numerisk løsning af grænseværdi-problemer (BVPs) med Dirichlet, Neumann og Robin grænsebetingelser
• Designe, analysere og implementere numeriske metoder til effektiv løsning af elliptiske ligningssystemer
• Udlede og implementere "deferred correction" metoder til løsning af 2-punkt BVPs og elliptiske liginger
• Udlede og analysere stationære iterative "defect correction" metoder, herunder multigrid metoder, til løsning af store lineære ligningssystemer
• Beskrive og implementere matrix-frie konjugerede gradient metoder, prækonditionerede konjugerede gradient metoder og GMRES-metoder til løsning af lineære ligningssystemer
• Beskrive, implementere og analysere iterative multi-grid metoder
• Analysere konvergens og stabilitet for numeriske metoder til løsning af parabolske og hyperbolske ligninger
• Analysere, udlede og implementere numeriske metoder til løsning af blandede og ikke-lineære systemer af partielle differentialligninger
• Opnå erfaring med introducerede teknikker til scientific machine learning

Emnerne der dækkes i kurset inkluderer:
- Analyse af metoder til numeriske løsning af 2-punkt grænseværdi-problemer (BVP)
- Egenskaber ved metoder til numerisk løsning af ordinære og partielle differentialliginger
(konsistens, orden of accuracy, stabilitet, konvergens)
- Newtons metode til løsning af 2-punkt grænseværdi-problemer (BVP)
- Numeriske metoder til grænseværdi-problemer (BVP) med varierende konduktivitet
- Deferred-correction metoder til BVPs
- Analyse af numeriske metoder til løsning af elliptiske ligningssystemer
- Iterative metoder til løsning af store linære ligningssystemer
- Konjugeret gradient metoder, prækonditioneret konjugeret gradient metoder, og GMRES-
metoder til løsning af lineære ligningssystemer
- Newton-Krylov metoder til ikke-lineære ligningssystemer
- Multi-grid metoder til effektive iterative metoder til løsning af store lineare ligningssystemer
- Analyse af metoder til numeriske løsning af parabolske og hyperbolske ligninger
- Metoder til blandede og ikke-linære PDEs
- Metoder til Scientific Machine Learning 02. maj, 2022