Overordnede kursusmål
At udstyre deltagerne med det matematiske grundlag for avanceret
lineær algebra, som er brugt i, hovedsageligt anvendt matematik;
men også i datalogi, statistik og fysik, såvel som maskinlæring,
data behandling osv. Hovedfokus er på endeligdimensionelle reelle
eller komplekse vektorrum udstyret med et indre produkt, lineære
transformation på sådanne rum og matrixfaktoriseringer så som QR,
SVD, og DFT/FFT.
Undervisningsstilen er tavle-og-kridt forelæsninger og regneøvelser
med papir-og-blyant - computerprogrammer som Maple, Matlab, Python
osv. vil kun spille en marginal rolle. På den anden side vil kurset
give indsigt i den lineære algebra, der er nyttig for løsning af en
lang række tekniske problemer, fx til programmering (eller valg) af
software. Kurset sigter mod at formulere alle resultater præcist og
give fuldstændige beviser for dem. Dette vil styrke evnen til, at
håndtere og forstå abstrakte matematiske begreber, resultater og
beviser, samt til selv at konstruere (simplere) matematiske beviser
(af teknisk karakter).
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
- Give eksempler på konkrete vektorrum, normer og indre
produkter
- Forklare konceptet lineære transformationer og de tilhørende
begreber (kernen, billedrummet, rang, søjlerummet, osv.)
- Forstå virkningen af matrixfremstillinger (blok, Householder,
hermitisk, unitær, normal, osv.)
- Forstå betydningen af matrixfaktoriseringer og
dekomponeringer
- Anvende og bevise spektralsætningen
- Anvende og bevise singulær værdi-dekompositionen
- Beskrive den diskrete Fourier-transformation og dens
egenskaber
- Udføre et matematisk bevis
Kursusindhold
Lineær algebra er gren af matematikken, der er brugt overalt i
natur og ingeniørvidenskaberne. I dette kursus gennemgås
* Vektorer, matricer, direkte sum og Kroneckerproduktet af
matricer.
* Et udvalg af matrixtyper: Blokmatricer, Householder,
hermitisk,positiv (semi-)definit, unitær, ortogonal projektion,
normal, cirkulær, pseudoinvers, kvadratroden, osv.).
* Norm, indreprodukt, induceret norm, Frobenius norm, osv.
* Matrixfaktoriseringer/diagonaliseringer: QR-faktorisering, Schur
triangulering, spektral (egenværdi/egenvektor), Jordan normalform,
singulær værdi-dekompositionen (SVD), polærdekompositionen.
* Specielle lineære transformationer: Householder reflektion,
foldning (cirkulærmatrix), Diskret (og hurtig) Fourier
transformation (DFT/FFT).
* Hvis tiden tillader det: Gershgorins cirkelsætning (begrænsning
af egenværdier), Foldningssætningen, Cholesky-faktorisering
Litteraturhenvisninger
Stephan Ramon Garcia og Roger A. Horn: A Second Course in
LinearAlgebra, Cambridge Mathematical Textbooks 2017
Supplementerende bog: Linear Algebra Done Wrong by Sergei Treil,
https://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/LADW_2017-09-04.pdfSidst opdateret
26. april, 2021
