Brugen af model-baserede simuleringværktøjer på moderne computere bliver brugt stadigt mere i akademiske og industrielle miljøer til brug for forbedring af ingeniørmæssige designs og beslutningsstøtte.
Formålet med kurset er at give deltagere i kurset et solidt kendskab til udviklingen i teori og praksis ved brug af videregående numeriske beregningsmetoder til effektiv løsning af differentialligninger og til prediktering i natur- og ingeniørvidenskaberne. Dette inkluderer at udvikle, analysere og anvende avancerede numeriske metoder og algoritmer til løsning af Partielle Differential Ligninger (PDEer). Vi vil udvikle og generalisere ideer fra Finite Difference metoder, Fourier metoder til brug for konstruktion af moderne fleksible multi-domain metoder som for eksempel Diskontinuerte Galerkin Finite Element Metoder og Spectral Element Metoder. Gennem kurset vil deltagerne opnå kendskab til og erfaring med brug af højere ordens Spektrale Metoder til numerisk løsning og prediktering og studie af matematiske problemer med analytiske løsninger der er svære at bestemme eller ikke er kendte. Metoderne er relevante for videnskabelige beregninger, herunder moderne usikkerhedsberegninger med fokus på kvantificering af usikkerhed og maskinlæring. Det sidste project i kurset kan defineres indenfor et videnskabeligt område der er relevant for deltageren. En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:

• Anvende basale principper for approksimation/​diskretisering af spektrale metoder.
• Anvende Fourier transformationer.
• Analysere konvergens of stabilitetsegenskaber for spektrale metoder.
• Implementere og løse randværdiproblemer for partielle differentialligninger.
• Implementere metoder til tidsintegration til løsning af semi-diskrete ligningssystemer.
• Implementere og anvende algoritmer til periodiske og ikke-periodiske problemer.
• Konstruere spektrale approksimation af partielle afledede.
• Implementere spektrale metoder i Matlab.
• Skrive rapporter og tydeligt kommunikere, diskutere og konkludere på baggrund af ideer og opnåede resultater.

Emner der dækkes i kursus inkluderer:
- Spektrale approksimations metoder
- Fourier approksimations metoder (periodisk)
- Polynomie approksimations metoder (ikke periodisk)
- Tidsintegration og stabilitetsanalyse
- Ikke-lineare PDE problemer
- Numerisk løsning af dynamiske systemer
- Konsistens og konvergensegenskaber for spektrale metoder
- Numeriske integration
- Udledning of analyse af avancerede algoritmer (fx. via projekter) D. A. Kopriva. (2009) "Implementing Spectral Methods for Partial Differential Equations: Algorithms for scientists and Engineers". Springer. 05. maj, 2020