Overordnede kursusmål
Målet med kurset er med udgangspunkt i den grundlæggende analyse af
parametriserede kurver og flader i rummet og af tilsvarende
repræsentationer af generelle Riemannske mangfoldigheder at skabe
og anvende en robust teoretisk baggrund for studiet af global
analyse på mangfoldigheder samt for en lang række avancerede
anvendelser af differentialgeometriske metoder og resultater.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
- Udregne krumning, torsion og Frenet-Serret data for givne
kurver i rummet og generelt i Riemannske mangfoldigheder.
- Opstille og anvende første og anden fundamentalform for flader
i rummet og i generelle mangfoldigheder.
- Beskrive og genkende isometrier og konforme afbildninger mellem
mangfoldigheder.
- Bestemme og benytte Lie-afledet, gradient, divergens, Hessiant,
og Laplace operatorer på Riemannske mangfoldigheder.
- Anvende tensorbegrebet til håndtering af multilineære
sammenhænge.
- Forklare og anvende Levi-Civita konnektionen i en Riemannsk
mangfoldighed.
- Forklare indre-geometriske egenskaber ved paralleltransport på
flader og i Riemannske mangfoldigheder.
- Bestemme geodætiske kurver og exponential-afbildningen og
logaritme-afbildningen for givne flader og Riemannske
mangfoldigheder.
- Forklare opstilling og betydning af krumningstensoren,
Ricci-krumningen, snitkrumningen, og skalarkrumningen for
Riemannske mangfoldigheder.
- Anvende første og anden variation af buelængden til opnåelse af
globale geometriske og topologiske konsekvenser af begrænsninger på
krumningstensorerne.
- Håndtere simple udvidelser af ovennævnte elementer fra
Riemannsk geometri til Lorentz og Finsler mangfoldigheder.
- Anvende differentialgeometriske begreber og metoder i et bredt
spektrum af moderne og signifikante
modellerings-scenarier.
Kursusindhold
Diffeomorfier; tangentrum; metriske tensorer; Poincaré modeller;
isometrier; Lie-afledet; Killing vector felter; Levi-Civita
konnektionen; covariant afledet; parallel transport; geodætiske
kurver; vindellinjer og cirkler; fundamentale
differential-operatorer; Laplace ligningen;
Exponential-afbildningen; Logaritme-afbildningen; første og anden
variation af geodætiske kurver; geodætiske kugler og kugleflader;
middelkrumning; krumningsoperatoren; krumningstensoren;
snitkrumning; Ricci krumning; skalar krumning; anvendelser i
Newton'sk mekanik, Lorentz' almen relatvitetsteori, og til
Finsler geometrisk analyse af anisotrope fænomener.
Litteraturhenvisninger
Manfredo P. doCarmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, 1992.
Manfredo P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces.
Dover Publications Inc.; 2 edition, 2017.
Barret O'Neill: Semi-Riemannian Geometry. Academic Press, 1983.
Noter.
Sidst opdateret
05. maj, 2020
