Målet med kurset er at opøve viden om og kompetencer i den grundlæggende analyse af kurver og flader i rummet med henblik på at skabe og anvende en robust teoretisk baggrund for studiet af Riemann'sk geometri og global analyse på mangfoldigheder samt for en række avancerede anvendelser af differentialgeometriske metoder og resultater. En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:

• Udregne krumning, torsion og Frenet-Serret basis for givne rumkurver på eksplicit, implicit, eller parametrisk form.
• Anvende første og anden fundamental forme til lokal og global analyse af flader i rummet som er givet på eksplicit, implicit, eller parametrisk form. Udvidelser til mangfoldigheder.
• Beskrive og genkende isometrier og konforme afbildninger mellem flader og mangfoldigheder.
• Bestemme de principale krumninger og principale retninger, Gauss- og middelkrumning i ethvert punkt på en given flade.
• Anvende tensor begrebet til håndtering af multilineære sammenhænge.
• Forklare betydningen af Levi-Civita konnektionen i en Riemannsk mangfoldighed.
• Forklare indre-geometriske egenskaber ved paralleltransport på flader og i Riemannske mangfoldigheder.
• Bestemme geodætiske kurver på givne flader og i Riemannske mangfoldigheder
• Forklare opstilling og betydning af krumningstensoren, Ricci-krumningen, snitkrumningen, og skalarkrumningen for Riemannske mangfoldigheder.
• Anvende første og anden variation af buelængden til opnåelse af globale geometriske og topologiske konsekvenser af begrænsninger på krumningstensorerne.
• Håndtere simple udvidelser af ovennævnte elementer fra Riemannsk geometri til Lorentz mangfoldigheder.
• Anvende differentialgeometriske begreber og metoder i et bredt spektrum af moderne og signifikante modellerings-scenarier.

Kurver og flader i 3D - med særlig fokus på deres krumnings-egenskaber. Specifikt indeholder kurset blandt andet følgende: Frenet-Serret 'apparatet' for kurver i 3D, første og anden fundamentalform for flader, Gauss krumning og middelkrumning, isometrier, konforme afbildninger, fundamentale resultater af Gauss og Gauss-Bonnet, fundamentale elementer af den indre-geometriske analyse på Riemannske mangfoldigheder (geodætiske kurver
paralleltransport, krumningstensorer), samt nyere resultater fra den globale differentialgeometri. Manfredo P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces.
Dover Publications Inc.; 2 edition, 2017.

Manfredo P. doCarmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, 1992.

Barret O'Neill: Semi-Riemannian Geometry. Academic Press, 1983.

Noter. 25. april, 2019