01125 Topologiske grundbegreber og metriske rum
2018/2019
Kurset erstatter fra januar 2017 kurset
01330 Matematik 3: Introduktion til Videregående
Matematik
Overordnede kursusmål
Alle videregående matematiske discipliner, der anvendes ved
modellering af kontinuerte fænomener, bygger på et fælles grundlag,
der bl.a. omhandler metriske (topologiske) strukturer i
punktmængder. Det er hensigten med kurset at udbygge den viden der
er opnået om matematisk analyse og lineær algebra i Matematik 1 og
Matematik 2 med nogle fundamentale begrebsdannelser vedrørende
metriske og lineære strukturer. Derved opnås et solidt matematisk
grundlag for en række videregående kurser og for studier af nyere
litteratur i matematik og de teoretiske ingeniørvidenskaber.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
- Omsætte intuitive begrebsdannelser vedrørende kontinuitet og
konvergens til stringent matematik.
- Konstruere matematiske beviser af metodisk karakter.
- Operere og argumentere med abstrakte afstandsbegreber.
- Arbejde med abstrakte afstandsbegreber i studiet af kontinuitet
og konvergens.
- Operere og argumentere med abstrakte topologiske begreber.
- Arbejde med abstrakte topologiske begreber i studiet af
kontinuitet og konvergens.
- Udnytte viden om punktmængders topologi i studiet af
ekstremalforhold for kontinuerte funktioner.
- Konstruere fuldstændiggørelsen af et metrisk rum.
Kursusindhold
Metrisk Topologi: Topologi i de reelle talrum og i metriske rum.
Konvergens af følger, kontinuitet af funktioner,
kompakthedsbegrebet. Konkret indføring i metoder til bevisførelse i
matematikken. Sammenhænghedsbegrebet. Fuldstændige metriske rum.
Fuldstændiggørelse af et metrisk rum.
Litteraturhenvisninger
Vagn Lundsgaard Hansen: "Entrance to Advanced Mathematics: The
metric foundations of modern analysis", Institut for
Matematik, 2008.
Sidst opdateret
04. maj, 2018