Overordnede kursusmål:

Det overordnede kursusmål er at give en introduktion til Numerisk Analyse. Et kendskab til Numerisk Analyse er uundværligt for enhver, som bruger en computer til at udføre beregninger på et matematisk grundlag. Kurset introducerer Numerisk Analyse via 4 CDIO-organiserede projekter, hvis matematiske grundlag er relevant for ingeniører. Projektarbejdet er jævnt fordelt over hele semesteret. Kurset er lagt til rette, så både den matematiske teori, udviklingen af software og de praktiske anvendelser er højt prioriteret.

Læringsmål:

En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:

• Beskrive og forklare faserne i en CDIO-organiseret udviklingsproces for software til numerisk analyse.
• Beskrive og fremstille en implementerbar algoritme som kombinerer Horners metode og Newton-Raphson iteration til beregning af reelle rødder for et polynomium.
• Implementere denne algoritme og analysere dens egenskaber.
• Beskrive og fremstille en implementerbar algoritme som kombinerer den udvidede Hornermetode og en multivariabel Newton iteration (Bairstows metode) til bestemmelse af komplekse rødder for et polynomium.
• Implementere denne algoritme og analysere dens egenskaber.
• Beskrive og fremstille implementerbare algoritmer til numerisk integration af standardnormalfordelingens pdf udført ved brug af henholdsvis Simpson's regel, Taylor-approximation og kubiske splines.
• Implementere disse algoritmer og analysere deres egenskaber.
• Beskrive og fremstille implementerbare algoritmer til optimering af multivariable funktioner. Forklare hvorledes algoritmerne kan anvendes til bestemmelse af mindste kvadraters løsningen ved minimering af en kvadratsum.
• Implementere denne algoritme og analysere dens egenskaber.

Kursusindhold:

Præsentation og anvendelse af en CDIO-organiseret udviklingsproces for algoritmer og software til numerisk analyse:
Formulering af en matematisk model og et matematisk problem.
Udvikling af en (matematisk funderet) løsningsmetode.
Frembringelse af implementeringslogik for løsningsmetoden i form af en implementerbar algoritme.
Implementering af algoritmen og udvikling af den tilhørende software.
Intern og ekstern test af den implementerede løsningsstrategi og den udviklede software.

Bestemmelse af 0-punkter (rodbestemmelse) ved Newton-Raphson iteration, bisektion og sekantmetoden.

Horners metode til beregning af reelle funktionsværdier, værdier af afledede og elimination af rødder for et polynomium.

Udvidelse af Horners metode til beregning af komplekse funktionsværdier for et polynomium og elimination af komplekst konjugerede rødder.

Lagrangeinterpolation med hovedvægt på det kvadratiske og det kubiske tilfælde. Numerisk integration ved Simpson's regel. Numerisk integration ved anvendelse af Taylorpolynomier.

Interpolation ved hjælp af kubiske splines. Løsning af tridiagonale ligningssystemer ved LU-faktorisering og anvendelse af Thomas' algoritme.

Optimering af multivariable funktioner. Der præsenteres en klasse af søgemetoder som udfører en-dimensionale minimeringer og genererer søgeretninger ud fra henholdsvis gradienter, multivariable 2. ordens Taylortilnærmelser og quasi-Newton tilnærmelser.

Numerisk tilnærmelse af differentialkvotienter.

Softwareplatform: Matlab.

Kursusansvarlig:

Hans Christian Pedersen , Ballerup Campus, Bygning Ballerup, Tlf. (+45) 3588 5169 , hchpe@dtu.dk