Dette kursus er DTUs introduktionskursus til dynamiske systemer.
Mange modeller i naturvidenskab og ingeniørvidenskaberne beskrives
vha differentialligninger og tidsligt afhængige variable. I teorien
for dynamiske systemer studerer man disse problemer og forsøger at
besvare spørgsmål som: Hvordan opfører systemet sig efter lang tid?
Hvordan afhænger systemet af parametre? Det er eksempler på vigtige
spørgsmål i anvendelserne, og teorien for dynamiske systemer er
derfor vigtig for de anvendte videnskaber. Dynamisk systemer er
også et fascinerende matematisk emne, der kombinerer de fleste
hjørnesten i matematikken, specielt analyse og geometri.
Dettte kursus ville lægge det matematiske fundament for de mere
avancerede kurser: 01257 Videregående modelling - Anvendt
matematik, hvor de studerende får muligheden for at anvende
dynamisk system teori på konkrete problemstillinger i modellering,
og det teoretiske kursus: 01618: Dynamiske Systemer 2.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Afgøre eksistens- og entydighedsspørgsmålet for ordinære
differentialligningssystemer.
Bevise eller afvise stabilitet af stationære og periodiske
løsninger
Anvende Hartman-Grobman sætningen om linearisering til at give
kvalitativ beskrivelse af dynamik i nærheden af et hyperbolsk
ligevægtspunkt
Operere med invariant mangfoldigheder
Anvende Poincaré-Bendixon sætnigen til at vise eksistens af
grænse cyckler
Klassificere lokale bifurkationer og bestemme de mulige lokale
bifurkationer i konkrete tilfælde.
Simulere et dynamisk system numerisk
Kombinere de ovenstående punkter til at give en global
beskrivelse af visse dynamiske systemer.
Kursusindhold:
Eksistens og entydighed af løsninger til systemer af ordinære
differentialligninger. Stabile, ustabile og center mangfoldigheder.
Lokal bifurkationsanalyse. Stabilitetsanalyse inklusiv
Hartman-Grobman Sætningen og Lyapunov funktioner. Teori om plane
dynamiske systemer, herunder Poincaré-Bendixons sætning. De
matematiske teknikker vil løbende blive anvendt på
problemstillinger fra kemi og fysik.
Mulighed for GRØN DYST deltagelse:
Kontakt underviseren for information om hvorvidt dette kursus giver
den studerende mulighed for at lave eller forberede et projekt som
kan deltage i DTUs studenterkonference om bæredygtighed,
klimateknologi og miljø (GRØN DYST). Se mere på http://www.groendyst.dtu.dk
