- forelæsninger, hvor fundamentale begreber, metoder og
resultater fremlægges og sættes i perspektiv,
- klasseundervisning, hvor teorien behandles i større detalje og
eksemplificeres ved løsning af opgaver,
Kursets varighed:
3-uger
Evalueringsform:
Eksamens varighed:
Hjælpemidler:
Bedømmelsesform:
Pointspærring:
Anbefalede forudsætninger:
,
Overordnede kursusmål:
Alle videregående matematiske discipliner, der anvendes ved
modellering af kontinuerte fænomener, bygger på et fælles grundlag,
der bl.a. omhandler metriske (topologiske) strukturer i
punktmængder. Det er hensigten med kurset at udbygge den viden der
er opnået om matematisk analyse og lineær algebra i Matematik 1 og
Matematik 2 med nogle fundamentale begrebsdannelser vedrørende
metriske og lineære strukturer. Derved opnås et solidt matematisk
grundlag for en række videregående kurser og for studier af nyere
litteratur i matematik og de teoretiske ingeniørvidenskaber.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Omsætte intuitive begrebsdannelser vedrørende kontinuitet og
konvergens til stringent matematik.
Konstruere matematiske beviser af metodisk karakter.
Operere og argumentere med abstrakte afstandsbegreber.
Udnytte viden om punktmængders topologi i studiet af
ekstremalforhold for kontinuerte funktioner.
Opnå en dyb forståelse af eksistens- og entydighedssætningen
for sædvanlige differentialligninger
Opnå en dyb forståelse af invers funktionssætningen
Opnå en dyb forståelse af implicit funktionssætningen
Udnytte og forstå sammenhængen mellem differentiabilitet og
lineær tilnærmelse.
Kursusindhold:
Metrisk Topologi: Topologi i de reelle talrum og i metriske rum.
Konvergens af følger, Kontinuitet af funktioner,
Kompakthedsbegrebet. Herunder konkret indføring i metoder til
bevisførelse i matematikken. Sammenhænghedsbegrebet.
Koncis beskrivelse af differentialitetsbegrebet i
højeredimensionale reelle talrum.
Formulering og bevis af: Banachs fixpunktssætning, eksistens- og
entydigheds sætningen for differentialligninger, invers
funktionssætningen og implicit funktionssætningen.
Litteraturhenvisninger:
Vagn Lundsgaard Hansen: "Entrance to Advanced Mathematics: The
metric foundations of modern analysis", Institut for
Matematik, 2008.
