Målet med kurset er at opøve viden om og kompetencer i den
grundlæggende analyse af kurver og flader i rummet med henblik på
at skabe en robust teoretisk baggrund både for videregående studier
indenfor Riemann'sk geometri og global analyse på
mangfoldigheder og for en række avancerede anvendelser i matematisk
modellering og data-analyse.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Udregne krumning, torsion og Frenet-Serret basis for givne
rumkurver på eksplicit, implicit, eller parametrisk form.
Anvende første og anden fundamental forme til lokal og global
analyse af flader i rummet som er givet på eksplicit, implicit,
eller parametrisk form.
Beskrive og genkende isometrier og konforme afbildninger mellem
flader.
Bestemme de principale krumninger og principale retninger i
ethvert punkt på en given flade.
Beregne Gauss- og middelkrumning i ethvert punkt på en given
flade.
Anvende Gauss-afbildningen til lokal og global (totalkrumning)
analyse og beskrivelse af en given flade.
Genkende de klassiske minimalflader og andre eksempler på
flader med konstant middelkrumning samt flader med konstant Gauss
krumning.
Bestemme asymptotekurver og geodætiske kurver på givne
flader.
Forklare og udnytte den invariante betydning af
Gauss-krumningen.
Anvende Gauss-Bonnet's sætning til vurdering af en kompakt
flades Euler-karakteristik.
Forklare indre-geometriske egenskaber ved paralleltransport på
flader.
Anvende første og anden variation af buelængden til opnåelse af
globale geometriske og topologiske konsekvenser af begrænsninger på
Gauss-krumningen.
Kursusindhold:
Kurver og flader i 3D - med særlig fokus på deres
krumnings-egenskaber. Specifikt indeholder kurset blandt andet
følgende: Frenet-Serret 'apparatet' for kurver i 3D, første
og anden fundamentalform for flader, Gauss krumning og
middelkrumning, isometrier, konforme afbildninger, fundamentale
resultater af Gauss og Gauss-Bonnet, de første elementer af den
indre-geometrisk analyse på Riemannske mangfoldigheder
(paralleltransport), samt nyere resultater fra den globale
differentialgeometri.
Litteraturhenvisninger:
Manfredo P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces.
Prentice Hall, 1976.
Mulighed for GRØN DYST deltagelse:
Kontakt underviseren for information om hvorvidt dette kursus giver
den studerende mulighed for at lave eller forberede et projekt som
kan deltage i DTUs studenterkonference om bæredygtighed,
klimateknologi og miljø (GRØN DYST). Se mere på http://www.groendyst.dtu.dk
