Overordnede kursusmål:

Målet med kurset er at opøve viden om og kompetencer i den grundlæggende analyse af kurver og flader i 3D. Målsætningen er glimrende beskrevet i lærebogen således: "Curves and surfaces are objects that everyone can see, and many questions that can be asked about them are natural and easily understood. Differential geometry is concerned with the precise mathematical formulation of some of these questions, and with trying to answer them using calculus techniques." Computer-eksperimenter med Maple benyttes som en integreret del af kurset til at hjælpe med alle tre aspekter: At stille naturlige geometriske - typisk design relaterede - spørgsmål, at formulere dem i præcise matematiske termer, og at besvare dem ved hjælp af matematisk analyse og lineær algebra. Kurset sigter ligeledes mod at skabe en robust baggrund for videregående studier indenfor de mangfoldige teknologiske anvendelser af differentialgeometriske begreber og værktøjer.

Læringsmål:

En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:

• Udregne krumning, torsion og Frenet-Serret basis for en given rumkurve
• Anvende første og anden fundamental forme til analyse af kurver på flader i rummet.
• Genkende isometrier og konforme afbildninger mellem simple flader.
• Bestemme de principale krumninger og principale retninger i ethvert punkt på en given flade.
• Beregne Gauss- og middelkrumning i ethvert punkt på en given flade.
• Forklare den invariante betydning af Gauss-krumningen.
• Forklare sammenhængen mellem anden fundamentalform, Weingarten afbildningen og de principale krumninger og retninger.
• Forklare sammenhængen mellem total-krumning, normal-krumning og geodætisk krumning for en kurve på en given flade.
• Anvende krumningsbegreberne til analyse og løsning af design-relaterede opgaver.
• Anvende den generelle fladeteori på omdrejningsflader, retlinede flader og andre design-motiverede flader.
• Anvende Gauss-Bonnet's sætning til vurdering af en flades Euler-karakteristik.
• Anvende teorien på et simpelt geometrisk design- eller konstruktionsopgave og præsentere løsningen i form af en rapport.

Kursusindhold:

Kurver og flader i 3D - med særlig fokus på krumnings-egenskaber. Hvordan findes den korteste vej mellem to punkter på en krum flade? Hvad sker der ved bøjning af en flade? Hvordan beregnes antallet af huller i en lukket flade? Individuelle projekt-opgaver med anvendelser af differentialgeometri kan vælges fra en liste, der indeholder så forskellige forslag som f.eks.: Parametriske sweeping-konstruktioner, konstruktion af rutchebaner, geografiske kortprojektioner, relativitetsteori (speciel eller generel), protein-geometri, Wankel-motorer, etc. Specifikt indeholder kurset blandt andet følgende: Frenet-Serret 'apparatet' for kurver i 3D, første og anden fundamentalform for flader, Gauss krumning og middelkrumning, areal-bevarende afbildninger, isometrier, fundamentale resultater af Gauss, Codazzi-Mainardi, og Gauss-Bonnet, samt et individuelt projekt med et indhold af geometrisk design, der tager udgangspunkt i og anvender de gennemgåede krumningsbegreber.

Litteraturhenvisninger:

Andrew Pressley: Elementary Differential Geometry, Springer, 2010.

Mulighed for GRØN DYST deltagelse:

Kontakt underviseren for information om hvorvidt dette kursus giver den studerende mulighed for at lave eller forberede et projekt som kan deltage i DTUs studenterkonference om bæredygtighed, klimateknologi og miljø (GRØN DYST). Se mere på http://www.groendyst.dtu.dk

Kursusansvarlig:

Steen Markvorsen , Lyngby Campus, Bygning 303B, Tlf. (+45) 4525 3049 , stema@dtu.dk
David Brander , Lyngby Campus, Bygning 303B, Tlf. (+45) 4525 3052 , dbra@dtu.dk