Forelæsninger, som er støttet og suppleret af projektarbejde.
Undervisningstiden er en ugentlig session på 4 timer. Tiden deles
mellem præsentation af nyt stof og CDIO-organiseret projektarbejde
i grupper. Kurset gør omfattende brug af computere i forbindelse
med udvikling, implementering, test og dokumentation af egen
software - samt anvendelse af eksisterende software.
Det overordnede kursusmål er kombinationen af to hovedemner.
Dels: "Mindste kvadraters løsning" som er et centralt
matematisk begreb med mange praktiske anvendelser. Kurset
præsenterer mindste kvadraters løsning og dens baggrund i lineær
algebra og i minimering af multivariable funktioner.
Og dels: Design af adaptive filtre, som er en udbredt disciplin
inden for moderne digital signalbehandling. Mindste kvadraters
løsning er den centrale teoretiske idé for en vigtig klasse af
designs af adaptive filtre. Kurset viser sammenhængen mellem den
matematiske teori, udviklingen af en realiserbar algoritme og den
endelige implementering af et adaptivt filter i en praktisk
kontekst.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Forklare følgende begreber vedrørende vektorer:
Linearkombination, basis, vektorrum, lineær afhængighed og lineær
uafhængighed, proportionalitet og ortogonalitet. Udføre følgende
beregninger vedrørende vektorer: Fremstille en vektor i en basis,
projicere én vektor på en anden vektor, beregne det indre og det
ydre vektorprodukt af to vektorer, foretage normering af en
vektor.
Forklare følgende begreber vedrørende matricer: Rang. Søjlerum,
rækkerum og de to nulrum. Fremstille og anvende rotationsmatricer,
permutationsmatricer og projektionsmatricer. Udføre
matrixmultiplikation ved hjælp af indre og ydre vektorprodukter
samt søjlevis hhv rækkevis fremstilling af produktmatricen.
Forklare følgende begreber vedrørende kvadratiske systemer af
lineære ligninger: Præsentationsformer og løsningsscenarier. Afgøre
om løsning kan ske ved projektioner. Udføre følgende beregninger
vedrørende kvadratiske systemer af lineære ligninger: Løsning ved
hjælp af Gauss elimination pivotering og backwards substitution.
Løsning ved hjælp af SVD-faktorisering.
Forklare følgende begreber vedrørende overbestemte
ligningssystemer: Mindste kvadraters løsningen, den korteste
fejlvektor, sammenhæng mellem ligningssystem, normalligninger og
det tilhørende minimeringsproblem. Udføre følgende beregninger
vedrørende overbestemte ligningssystemer: Løse normalligningerne,
frembringe projektionsmatricen for projektion på søjlerummet og
finde fejlvektoren for mindste kvadraters løsning.
Forklare og beskrive følgende begreber vedrørende
SVD-faktoriseringen: Faktorernes indhold, struktur og egenskaber.
Reduceret rang approximation af en matrix. Udføre følgende
beregninger ved hjælp af SVD-faktoriseringen: Løsning af et
kvadratisk ligningssystem. Beregning af mindste kvadraters løsning.
Test af, om en vektor tilhører ét af de fire tilknyttede
vektorrum.
Præsentere et diagram, som viser den generelle model for et
adaptivt filter. Beskrive datagrundlaget for analyse og test af et
designet adaptivt filter. Beskriv anvendelsen af dette
datagrundlag.
Beskrive og analysere algoritmen til design af et adaptivt
LMS-filter.
Beskrive og analysere algoritmen til design af et adaptivt
RLS-filter.
Beskrive, tilrettelægge og realisere et CDIO-organiseret
projektforløb til design af et adaptivt filter.
Kursusindhold:
Vektorer: Linearkombinationer, vektorrum, baser og basisvektorer,
lineær afhængighed og lineær uafhængighed, indre og ydre
vektorprodukter, ortogonalitet, vektor-på-vektor projektion,
vektornormer.
Matricer: De fire tilknyttede vektorrum. Rang, normer,
konditionstal. Ortogonale og ortonormale matricer.
Rotationsmatricer, permutationsmatricer, projektionsmatricer.
Inverse og pseudoinverse matricer. Faktoriseringer og faktorernes
struktur, indhold og egenskaber for faktoriseringerne LU, PLU og
SVD.
Løsning af ligningssystemer: Gauss elimination, pivotering og
backwards substitution. Regulære, singulære og nær-singulære
systemer. Overbestemte systemer, normalligninger og mindste
kvadraters løsning. Brug af matrixfaktoriseringer i
løsningsprocessen.
Multivariable funktioner: Beregningsforskrift, niveaukurver/flader,
tværsnit. Partielle afledede, retningsafledede, gradienter.
Taylorapproximationer af 1. og 2. orden. Hessematricer.
Planer/hyperplaner og kvadratiske former.
Tilfældige signaler og deres statistik. Stationære og ergodiske
signaler. Krydskorrelation og autokorrelation.
Wienerløsning og Wienerfilter. Adaptive LMS-filtre. Adaptive
RLS-filtre.
1. obligatoriske semester-projekt: Behandling af digitale fotos,
datakompression og reduceret rang matrixapproximation ved hjælp af
SVD-faktorisering.
2. obligatoriske semester-projekt: LMS- og RLS-design og
implementering af et adaptivt filter til echo-cancelling
(bortfiltrering af et akustisk ekko)
