Overordnede kursusmål:

Mange videregående matematiske discipliner, fx Fourier analyse, numerisk analyse, variationsregning, differential- og integraloperatorteori, bygger på et fælles grundlag som bl.a. omfatter grundlæggende begreber og abstraktioner knyttet til lineære rum af funktioner (funktionalanalyse). Det er hensigten med kurset at tilvejebringe en række grundlæggende begreber fra funktionalanalyse og således lette den studerendes adgang til studiet af avancerede matematiske strukturer med udspring i naturvidenskaberne og ingeniørvidenskaberne og adgangen til den nyeste tekniske og matematiske litteratur.

Læringsmål:

En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:

• Angive funktionsrum og følgerum, der anvendes i funktionalanalyse og angive deres egenskaber.
• Angive og relatere definitionerne af metriske rum, normerede vektorrum, Banach-rum, dual rum, refleksive rum, indreprodukt-rum, og Hilbert-rum.
• Gøre rede for fundamentale begreber som fx isomorfier, fuldstændighed, separabilitet, ortogonalitet og dimension.
• Angive, relatere og bestemme forskellige former for konvergens i normerede vektorrum.
• Konstruere matematiske beviser af metodisk karakter.
• Formulere, forklare og bevise grundlæggende sætninger inden for funktionalanalyse.
• Identificere og omformulere konkrete problemstillinger inden for ingeniørvidenskaben ved hjælp af funktionalanalytiske begreber.
• Løse konkrete matematiske problemer ved hjælp af abstrakte resultater fra funktionalanalysen.

Kursusindhold:

Begrænsede og ubegrænsede lineære operatorer i normerede vektorrum. Fuldstændiggørelse af normerede vektorrum. Konstruktion af L^p-rum ved fuldstændiggørelse af rum af kontinuerte funktioner. Generelle Banach rum og Hilbert rum. Projektionssætningen, Begrænsede og ubegrænsede operatorer i Hilbert rum. Svag, svag-* og stærk konvergens. Baires kategorysætning. Hahn-Banach sætningen. "Open Mapping" sætningen. "Uniform Boundedness" sætningen. "Closed Graph" sætningen. Spektralsætningen for kompakte, selvadjungerede operatorer i separable Hilbert rum. Anvendelser af funktionalanalytiske metoder indenfor fx partielle differentialligninger, wavelet-teori eller optimeringsproblemer.

Litteraturhenvisninger:

Flere bøger dækker indholdet i dette kursus i funktionalanalyse. Den anbefalede bog er: Erwin Kreyszig, “Introductory Functional Analysis with Applications”, John Wiley and Sons, 1989. Bogen kan købes i Polyteknisk Boghandel.

Kursusansvarlig:

Jakob Lemvig , Bygning 303, Tlf. (+45) 4525 3065 , jakle@dtu.dk