At give deltagerne en grundlæggende indsigt i ikke-lineære
fænomener i komplekse systemer; introducere analytiske og
beregningsmæssige værktøjer til analyse af dynamiske fænomener i
komplekse systemer systemer; regne- og computerøvelserne vil sætte
deltagerne i stand til at foretage ikke-lineære analyser af
matematiske modeller.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Definere fikspunkter og stabilitet for en- og to-dimensionale
dynamiske systemer og beregne fikspunkternes placering og deres
stabilitet.
Udføre skalering af modeller og bestemme deres dimensionsløse
parametre.
Udføre en detaljeret kvalitativ faseplansanalyse under
anvendelse af linearisering og nullkliner.
Forklare egenskaberne ved stabile og ustabile mangfoldigheder
af saddelpunkter.
Forklare de mest almindelige lokale bifurkationer i en- og
to-dimensionale dynamiske systemer og bestemme disse i simple
systemer.
Demonstrere fraværet af periodiske løsninger i gradient
systemer, vha Lyapunov funktioner og Dulacs kriterium.
Demonstrere eksistensen af periodiske løsninger vha
Poincaré-Bendixsons sætning.
Beregne fikspunkter og stabilitet for en-dimensionale itererede
afbildninger og beskrive deres bifurkationsdiagrammer.
Anvende numeriske metoder til bestemmelse af fikspunter og
deres stabilitet, bifurkationspunkter, approksimation af stabile og
ustabile mangfoldigheder for saddelpunkter og som hjælp til
faseplansanalyse.
Beregne den fraktale dimension af selvsimilære objekter og
forklare de vigtigste egenskaber ved kaotiske
løsninger.
Kursusindhold:
Ikke-lineære fænomener: faseplansanalyse, grænsecykler, kaotisk
dynamik. Skalering. Indeksteori. Lyapunov funktioner.
Stabilitet af ligevægte og periodiske løsninger.
Computersimulering. Lokale bifurkationer: saddel-knude,
transkritisk, pitchfork, Hopf og periode-dobling. Poincare snit og
Poincare afbildninger. Stabile og ustabile mangfoldigheder. Globale
bifurkationer. Kaos og forudsigelighed; beregning af Lyapunov
eksponenter. Fraktal geometri; beregning af fraktal
dimension.
Litteraturhenvisninger:
Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, ISBN
0-7382-0453-6.
