Målet med kurset er at give en praktisk introduktion til løsning af
inverse problemer (også kaldet "ill-posed problems") i
forskellige former. Sådanne problemer optræder fx ved løsning af
Fredholm integralligninger af første art, i medicinsk tomografi, i
geofysik og lignende. I kurset diskuteres baggrunden for inverse
problemer og matematikken bag deres løsningen. Endvidere belyses
teorien med Matlab-øvelser, således at den studerende får praktisk
erfaring med nogle velkendte teknikker og paradigmer.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Formulere og identificere simple modeller indenfor de tekniske
videnskaber, i form af inverse problemer
Forstå de fundamentale vanskeligheder ved inverse
problemer
Diskretisere og løse nogle Fredholm integralligninger af første
art
Forstå mekanismerne ved regularisering i forbindelse med
stabilisering af løsningen til et inverst problem
Implementere og bruge numeriske "værktøjer" til
analyse og løsning af inverse problemer vha regularisering
Bruge forskellige metoder til valg af
regulariseringsparameteren (dvs vægten der lægges på
regularisering)
Implementere og bruge iterative metoder til
storskala-problemer, fx til tomografisk rekonstruktion
Forstå, analysere og løse udvalgte inverse problemer indenfor
partielle differentialligninger
Identificere inverse problemer i medicinsk billeddannelse og
løse sådanne problemer
Identificere ikke-lineære inverse problemer og løse
dem
Kursusindhold:
Integralligninger af førte art. Singular værdi udvikling og
Picard-betingelsen. Diskretiserings-metoder. Singular værdi
dekomposition. Regulariseringsmetoder (TSVD og Tikhonov). Metoder
til valg af regulariseringsparameter. Iterative
regulariserings-metoder. Tomografisk rekonstruktion.
Inverse problemer for partielle differentialligninger. Det inverse
varmeledningsproblem. Medicinsk billeddannelse herunder
Computerized Tomography og Electrical Impedance Tomography.
Ikke-lineære inverse problemer og linearisering.
