Fagets overordnede mål er, at de studerende efter endt undervisning på et indledende niveau kan redegøre for og anvende matematiske modeller og metoder til analyse af problemstillinger inden for to af biomekanikkens hovedområder: fluidmekanik og stoftransport.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Anvende differentialoperatorerne gradient, divergens og rotation, samt omskrive disse fra kartesisk til polær koordinatsystem
Anvende matematiske teoremer som Leibniz teorem og Gauss teorem
Redegøre for fluiders basale mekaniske egenskaber
Redegøre for fluiders kinematik, herunder acceleration, strain rate tensoren og rotationstensoren
Redegøre for en fluids massebevarelse på integralform og differentialform
Redegøre for fluiders impulsbevarelse
Udlede Navier-Stokes ligning
Redegøre for alle elementer i Navier-Stokes ligning for ikke-sammentrykkelige væsker
Redegøre for masse- og molflux samt Fick´s 1. lov
Udlede den generelle transportligning og reducere denne til specielle anvendelser
Løse for stationære og transiente koncentrationsprofiler og flux
Udlede dimensionsløse grupper og omskrive ligninger til dimensionsløs form
Kursusindhold:
1. Grundlæggende begreber: Kontinuitetsbegrebet, overflade- og volumenkræfter, sammentrykkelighed, opdrift, overfladespænding og kapillareffekten 2. Væskers kinematik: Hastighedsfelt, flow rate, accelerationsfelt, hastighedsgradienttensoren, rotation, aksial extension, volumenekspansion, vinkeldeformation, strain rate tensoren, rotationstensoren 3. Bevarelse af masse: Massebevarelse på differentiel form og integralform, Lebniz teorem, Gauss teorem, differentialoperatorer i det polære koordinatsystem 4. Equation of motion: Impulsbevarelse af systemvolumen udtrykt ved kontrolvolumen, kræfter på et fluidelement, traktionsvektoren, divergens af en dyade, divergens af en tensor, Cauchy´s ligning i kartesiske og polære koordinatsystemer 5. Fluiders konstitutive ligninger: Symmetri i stress tensor, symmetrier i isotrope fluiders stivhedstensor, Lamé konstanterne, viscositet, Newtonske og ikke-Newtonske fluider 6. Navier-Stokes ligning: Divergens af stress tensoren, Navier-Stokes ligning for sammentrykkelige og usammentrykkelige fluider, uniaxial flow over plan flade 7. Diffusion, introduction: Masse- og molfraktion, massevægtet og molvægtet hastighed, masse- og molflux, Fick´s 1. lov, binære opløsninger, fortyndede opløsninger 8. Transportligningen: Udledning af den generelle transportligning, specielle reducerede versioner, typer af randbetingelser 9. Stationær diffusion: Løsning af randværdiproblemer: 2. ordens stationær differentialligning i kartesiske, cylindriske og sfæriske koordinatsystemer, diffusion gennem tyk plade, diffusion gennem membrane, permeabilitet, diffusion ind i cylinder, diffusion med reaktion, diffusion fra kugle med variabel overflade, diffusion med advection 10. Transient diffusion: Diffusion i semi-infinite domæne, anvendelse af Laplace transformation, separation af variable i 1-d 11. Dimensionsanalyse: Buckingham Pi teoremet, omskrivning af transportligning til dimensionsløs form, Péclét tallet 12. Anvendelse af Comsol
Litteratur:
Welty et al. Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer. 5th ed. John Wiley & Sons.
Bemærkninger:
Kurset sigter mod bachelorstuderende og lægger særlig vægt på at genopfriske de matematiske kompetencer, der er centrale i fluidmekanik og stoftransport. En naturlig fortsættelse af dette kursus findes i kurset 28160 Matematiske modeller for kemiske systemer. Kurset er et teknologisk linjefag i uddannelsen Medicin og Teknologi.
