Forelæsninger, hvor fundamentale begreber, metoder og resultater fremlægges og sættes i perspektiv, og øvelser, hvor teorien eksemplificeres ved løsning af opgaver.
Mange videregående matematiske discipliner, fx Fourier analyse, numerisk analyse, variationsregning, differential- og integraloperatorteori, bygger på et fælles grundlag som bl.a. omfatter grundlæggende begreber og abstraktioner knyttet til lineære rum af funktioner (funktionalanalyse). Det er hensigten med kurset at tilvejebringe en række grundlæggende begreber fra funktionalanalyse og således lette den studerendes adgang til studiet af avancerede matematiske strukturer med udspring i naturvidenskaberne og ingeniørvidenskaberne og adgangen til den nyeste tekniske og matematiske litteratur.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Udvælge og anvende abstrakte matematiske strukturer ved formulering og behandling af konkrete problemstillinger.
Konstruere matematiske beviser af metodisk karakter.
Skelne mellem matematiske problemstillinger i endelig og uendelig dimension.
Genkende og udnytte Banach rum og Hilbert rum i matematiske problemstillinger.
Formulere grundlæggende sætninger inden for funktionalanalyse.
Bevise grundlæggende særninger inden for funktionalanalyse.
Anvende abstrakte matematiske begreber, som fx Banach rum og Hilbert rum, i teoretiske dele af naturvidenskaberne og ingeniørvidenskaberne.
Udnytte lineære operatorer ved formulering af differential- og integralligninger.
Kursusindhold:
Begrænsede og ubegrænsede lineære operatorer i normerede vektorrum. Fuldstændiggørelse af normerede vektorrum. . Konstruktion af L^p-rum ved fuldstændiggørelse af rum af kontinuerte funktioner. Generelle Banach rum og Hilbert rum. Begrænsede og ubegrænsede operatorer i Hilbert rum. Spektralsætningen for kompakte, selvadjungerede operatorer i separable Hilbert rum. Hahn-Banach sætningen. "Open Mapping" sætningen. "Uniform Boundedness" sætningen. "Closed Graph" sætningen. Anvendelser af funktionalanalytiske metoder indenfor fx partielle differentialligninger, wavelet-teori eller optimeringsproblemer.
Litteratur:
Flere bøger dækker indholdet i dette kursus i funktionalanalyse.
Den anbefalede bog er: Erwin Kreyszig, “Introductory Functional Analysis with Applications”, John Wiley and Sons, 1989. Bogen kan købes i Polyteknisk Boghandel.
Alternativt kan følgende e-bog benyttes: Gerald Teschl, “Topics in Real and Functional Analysis”. Den er frit tilgængelig fra www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/
Fuldstændiggørelse af normerede vektorrum, Banach rum, Hilbert rum, Begrænsede og ubegrænsede operatorer, Spektralsætningen, Diverse anvendelser af funktionalanalytiske metoder.
Sidst opdateret:
9. august, 2012
Kopier links for linkning til denne kursusbeskrivelse
Denne version:
Nyeste version:
Denne version vil altid linke til denne version af kursusbeskrivelsen.
Nyeste version vil linke til den nyeste version af kursusbeskrivelsen.
