- forelæsninger, hvor fundamentale begreber, metoder og resultater fremlægges og sættes i perspektiv, - klasseundervisning, hvor teorien behandles i større detalje og eksemplificeres ved løsning af opgaver,
Kursets varighed:
3-uger
Evalueringsform:
Eksamens varighed:
Hjælpemidler:
Bedømmelsesform:
Pointspærring:
Ønskelige forudsætninger:
Overordnede kursusmål:
Alle videregående matematiske discipliner, der anvendes ved modellering af kontinuerte fænomener, bygger på et fælles grundlag, der bl.a. omhandler metriske (topologiske) strukturer i punktmængder. Det er hensigten med kurset at udbygge den viden der er opnået om matematisk analyse og lineær algebra i Matematik 1 og Matematik 2 med nogle fundamentale begrebsdannelser vedrørende metriske og lineære strukturer. Derved opnås et solidt matematisk grundlag for en række videregående kurser og for studier af nyere litteratur i matematik og de teoretiske ingeniørvidenskaber.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Omsætte intuitive begrebsdannelser vedrørende kontinuitet og konvergens til stringent matematik.
Konstruere matematiske beviser af metodisk karakter.
Operere og argumentere med abstrakte afstandsbegreber.
Udnytte viden om punktmængders topologi i studiet af ekstremalforhold for kontinuerte funktioner.
Opnå en dyb forståelse af eksistens- og entydighedssætningen for sædvanlige differentialligninger
Opnå en dyb forståelse af invers funktionssætningen
Opnå en dyb forståelse af implicit funktionssætningen
Udnytte og forstå sammenhængen mellem differentiabilitet og lineær tilnærmelse.
Kursusindhold:
Metrisk Topologi: Topologi i de reelle talrum og i metriske rum. Konvergens af følger, Kontinuitet af funktioner, Kompakthedsbegrebet. Herunder konkret indføring i metoder til bevisførelse i matematikken. Sammenhænghedsbegrebet.
Koncis beskrivelse af differentialitetsbegrebet i højeredimensionale reelle talrum.
Formulering og bevis af: Banachs fixpunktssætning, eksistens- og entydigheds sætningen for differentialligninger, invers funktionssætningen og implicit funktionssætningen.
Litteratur:
Vagn Lundsgaard Hansen: "Entrance to Advanced Mathematics: The metric foundations of modern analysis", Institut for Matematik, 2008.
