Forelæsninger, hvor fundamentale begreber, metoder og resultater fremlægges og sættes i perspektiv, og øvelser, hvor teorien eksemplificeres ved løsning af opgaver.
Mange videregående matematiske discipliner, fx Fourier analyse, numerisk analyse, variationsregning, differential- og integraloperatorteori, bygger på et fælles grundlag som bl.a. omfatter grundlæggende begreber og abstraktioner knyttet til lineære rum af funktioner (funktionalanalyse). Det er hensigten med kurset at tilvejebringe en række grundlæggende begreber fra funktionalanalyse og således lette den studerendes adgang til studiet af avancerede matematiske strukturer med udspring i naturvidenskaberne og ingeniørvidenskaberne og adgangen til den nyeste tekniske og matematiske litteratur.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Udvælge og anvende abstrakte matematiske strukturer ved formulering og behandling af konkrete problemstillinger, der involverer normer og vurderinger.
Konstruere matematiske beviser af metodisk karakter.
Skelne mellem matematiske problemstillinger i endelig og uendelig dimension.
Genkende og udnytte Banach rum og Hilbert rum i matematiske problemstillinger.
Formulere grundlæggende sætninger inden for funktionalanalyse.
Bevise grundlæggende særninger inden for funktionalanalyse.
Anvende abstrakte matematiske begreber, som fx Banach rum og Hilbert rum, i teoretiske dele af naturvidenskaberne og ingeniørvidenskaberne.
Udnytte lineære operatorer ved formulering af differential- og integralligninger.
Kursusindhold:
Begrænsede og ubegrænsede lineære operatorer i normerede vektorrum. Fuldstændiggørelse af normerede vektorrum. . Konstruktion af L^p-rum ved fuldstændiggørelse af rum af kontinuerte funktioner. Generelle Banach rum og Hilbert rum. Begrænsede og ubegrænsede operatorer i Hilbert rum. Spektralsætningen for kompakte, selvadjungerede operatorer i separable Hilbert rum. Hahn-Banach sætningen. "Open Mapping" sætningen. "Uniform Boundedness" sætningen. "Closed Graph" sætningen. Anvendelser af funktionalanalytiske metoder på PDE'er og optimeringsproblemer.
Litteratur:
Flere bøger dækker indholdet i dette kursus i funktionalanalyse. Et eksempel er Gerald Teschl, “Topics in Real and Functional Analysis”. Tilgænglig fra www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/
En alternativ bog er Erwin Kreyszig, “Introductory Functional Analysis with Applications”, John Wiley and Sons, 1989.
Derudover vil vi bruge uddrag fra bogen Vagn Lundsgaard Hansen: "Functional Analysis - Entering Hilbert Space". World Scientific, 2006.
Fuldstændiggørelse af normerede vektorrum, Banach rum, Hilbert rum, Begrænsede og ubegrænsede operatorer, Spektralsætningen, Anvendelser af funktionalanalytiske metoder på PDE'er og optimeringsproblemer.
Sidst opdateret:
11. april, 2011
Kopier links for linkning til denne kursusbeskrivelse
Denne version:
Nyeste version:
Denne version vil altid linke til denne version af kursusbeskrivelsen.
Nyeste version vil linke til den nyeste version af kursusbeskrivelsen.
