At give deltagerne en grundlæggende indsigt i ikke-lineære fænomener i komplekse systemer; introducere analytiske og beregningsmæssige værktøjer til analyse af dynamiske fænomener i komplekse systemer systemer; regne- og computerøvelserne vil sætte deltagerne i stand til at foretage ikke-lineære analyser af matematiske modeller.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Definere fikspunkter og stabilitet af for en- og to-dimensionale dynamiske systemer og beregne fikspunkternes placering og deres stabilitet.
Udføre skalering af modeller og bestemme deres dimensionsløse parametre.
Udføre en detaljeret kvalitativ faseplansanalyse under anvendelse af linearisering og nullkliner.
Forklare egenskaberne ved stabile og ustabile mangfoldigheder af saddelpunkter.
Forklare de mest almindelige lokale bifurkationer i en- og to-dimensionale dynamiske systemer og bestemme disse i simple systemer.
Demonstrere fraværet af periodiske løsninger i gradient systemer, vha Lyapunov funktioner og Dulacs kriterium.
Demonstrere eksistensen af periodiske løsninger vha Poincaré-Bendixsons sætning.
Beregne fikspunkter og stabilitet for en-dimensionale itererede afbildninger og beskrive deres bifurkationsdiagrammer.
Anvende numeriske metoder til bestemmelse af fikspunter og deres stabilitet, bifurkationspunkter, approksimation af stabile og ustabile mangfoldigheder for saddelpunkter og som hjælp til faseplansanalyse.
Beregne den fraktale dimension af selvsimilære objekter og forklare de vigtigste egenskaber ved kaotiske løsninger.
Kursusindhold:
Ikke-lineære fænomener: faseplansanalyse, grænsecykler, kaotisk dynamik. Skalering. Indeksteori. Lyapunov funktioner. Stabilitet af ligevægte og periodiske løsninger. Computersimulering. Lokale bifurkationer: saddel-knude, transkritisk, pitchfork, Hopf og periode-dobling. Poincare snit og Poincare afbildninger. Stabile og ustabile mangfoldigheder. Globale bifurkationer. Kaos og forudsigelighed; beregning af Lyapunov eksponenter. Fraktal geometri; beregning af fraktal dimension.
Litteratur:
Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, ISBN 0-7382-0453-6.
Bemærkninger:
Dette kursus tæller som teknologisk linjefag for bachelorstuderende i fysik og nanoteknologi, 2004-2006.
