At introducere begreber, værktøjer og metoder fra avanceret ikke-lineær anvendt matematik for Fysik og Nanoteknologi studerende, så de er rustede til studier af ikke-lineære systemer inden for fysik, optik, fotonik, hydrodynamik, superledning og biofysik.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Kende egenskaberne af de fundamentale ikke-lineære ligninger i fysikken
Kende til fundamentale ikke-lineære løsninger, som lyse, mørke og vortex solitoner
Anvende flerskala perturbationsteori og Fredholm’s alternativ til stringent udledning og reduktion af ikke-lineære ligninger
Finde bevarede størrelse og symmetrier og anvende disse i udledningen af generelle ikke-lineære løsninger
Bruge virial teori til studier af kollaps
Bestemme modulations instabilitet af plan-bølge løsninger til ikke-lineære ligninger
Bestemme strukturel instabilitet af solitoner ved Vakhitov-Kholokolov funktional analyse
Studere soliton vekselvirkning ved variationsteori og den effektive partikel metode
Bestemme stabilitet af bølgeformer i periodiske ikke-lineære materialer ved Floquet teori
Anvende moment metoden til bestemmelse af løsninger af ikke-lineære ligninger, som ikke har en Lagrange funktion
Beregne hvordan en soliton kan generere lineære bølger, eller såkaldte Cherenkov stråling, og ved hvilke frekvenser disse optræder
Bruge Fourier-midlings perturbationsteori til at analysere anden harmonisk generering og solitonegenskaber i kvadratisk ikke-lineære materialer med ikke-lineære kvasifase tilpasningsgitre og vise hvordan disse kan inducere en kubisk ikke linearitet
Kursusindhold:
Fundamentale ikke-lineære ligninger (Sine-Gordon, Klein-Gordon, Korteweg-de-Vries, Ikke-lineær Schrödinger, Diskret ikke-lineær Schrödinger, Ablowitz-Ladik og chi2 ligninger). Fundamentale ikke-lineære løsninger (lyse, mørke og vortex solitoner). Integrabilitet. Invers spredningsteori. Flerskala perturbations teori. Moment metoden. Virial teori. Fredholm’s alternativ, Floquet teori. Modulations instabilitet.Vakhitov-Kholokolov stabilitet. Soliton fission. Generering af dispersive bølger – Cherenkov stråling. Raman Rødskift. Adiabatisk og effektiv partikel vekselvirknings teori. 2. harmonisk generering, cascading, kvasi-fase tilpasning og induceret Kerr ikke-linearitet.
