At give deltagerne en grundl�ggende indsigt i ikke-line�re f�nomener i komplekse systemer; introducere analytiske og beregningsm�ssige v�rkt�jer til analyse af dynamiske f�nomener i komplekse systemer systemer; regne- og computer�velserne vil s�tte deltagerne i stand til at foretage ikke-line�re analyser af matematiske modeller.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Definere fikspunter og stabilitet af for en- og to-dimensionale dynamiske systemer og beregne fikspunkternes placering og deres stabilitet.
Udf�re skalering af modeller og bestemme deres dimensionsl�se parametre.
Udf�re en detaljeret kvalitativ faseplansanalyse under anvendelse af linearisering og nullkliner.
Forklare egenskaberne ved stabile og ustablie mangfoldigheder af saddelpunkter.
Forklare de mest almindelige lokale bifurkationer i en- og to-dimensionale dynamiske systemer og bestemme disse i simple systemer.
Demonstrere frav�ret af periodiske l�sninger i gradient systemer, vha Lyapunov funktioner og Dulacs kriterium.
Demonstrere eksistensen af periodiske l�sninger vha Poincar�-Bendixsons s�tning.
Beregne fikspunkter og stabilitet for en-dimensionale itererede afbildninger og beskrive deres bifurkationsdiagrammer.
Anvende numeriske metoder til bestemmelse af fikspunter og deres stabilitet, bifurkationspunkter, approksimation af stabile og ustabile mangfoldigheder for saddelpunkter og som hj�lp til faseplansanalyse.
Beregne den fraktale dimension af selvsimil�re objekter og forklare de vigtigste egenskaber ved kaotiske l�sninger.
Kursusindhold:
Ikke-line�re f�nomener: faseplansanalyse, gr�nsecykler, kaotisk dynamik. Skalering. Indeksteori. Lyapunov funktioner. Stabilitet af ligev�gte og periodiske l�sninger. Computersimulering. Lokale bifurkationer: saddel-knude, transkritisk, pitchfork, Hopf og periode-dobling. Poincare snit og Poincare afbildninger. Stabile og ustabile mangfoldigheder. Globale bifurkationer. Kaos og forudsigelighed; beregning af Lyapunov eksponenter. Fraktal geometri; beregning af fraktal dimension.
Litteratur:
Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, ISBN 0-7382-0453-6.
Bemærkninger:
Dette kursus t�ller som teknologisk liniefag for bacheorstuderende i Fysik og Nanoteknologi i årene 2004-2006.
