- forelæsninger, hvor fundamentale begreber, metoder og resultater fremlægges og sættes i perspektiv, - øvelser, hvor teorien behandles i større detalje og eksemplificeres ved løsning af opgaver, - større sammenhængende opgavesæt (miniprojekter).
Mange videregående matematiske discipliner, fx Fourier analyse, numerisk analyse, variationsregning, differential- og integraloperatorteori, bygger på et fælles grundlag som bl.a. omfatter grundlæggende begreber og abstraktioner knyttet til lineære rum af funktioner (funktionalanalyse). Det er hensigten med kurset at tilvejebringe en række grundlæggende begreber fra funktionalanalyse og således lette den studerendes adgang til studiet af avancerede matematiske strukturer med udspring i naturvidenskaberne og ingeniørvidenskaberne og adgangen til den nyeste tekniske og matematiske litteratur.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Udvælge og anvende abstrakte matematiske strukturer ved formulering og behandling af konkrete problemstillinger, der involverer normer og vurderinger.
Konstruere matematiske beviser af metodisk karakter.
Skelne mellem matematiske problemstillinger i endelig og uendelig dimension.
Arbejde kreativt med normer i lineære funktionsrum.
Genkende og udnytte Banach rum og Hilbert rum i matematiske problemstillinger.
Arbejde kreativt med baser i separable Hilbert rum.
Anvende abstrakte matematiske begreber, som fx Banach rum og Hilbert rum, i teoretiske dele af naturvidenskaberne og ingeniørvidenskaberne.
Udnytte lineære operatorer ved formulering af differential- og integralligninger.
Kursusindhold:
Elementer af metrisk topologi. Normerede vektorrum og operatornorm for begrænsede lineære operatorer. De grundlæggende uligheder af Hölder, Cauchy-Schwarz og Minkowski i funktionsrum og følgerum. Fuldstændiggørelse af normerede vektorrum og konstruktion af L^p-rum. Generelle Banach rum og Hilbert rum. Baser i separable Hilbert rum. Begrænsede og ubegrænsede operatorer i Hilbert rum. Spektralsætningen for kompakte, selvadjungerede operatorer i separable Hilbert rum.
