At give deltagerne indsigt i ikke-lineære dynamiske systemer med rumlig udbredelse, dvs. partielle differentialligninger og store systemer af koblede ordinære differentialligninger. Udover ren analytisk tilgang til løsning af simple problemstillinger, gennemgås approximative metoder og computerværktøjer til løsning af rumligt udbredte komplekse systemer.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Opstille de tre klassiske solitonligninger for udvalgte fysiske systemer. (vandbølger, superledning og ikke-linær optik).
Udføre simple løbende bølge analyser af ikke-lineære partielle differentialligninger (PDLer).
Forstå solitoners egenskaber.
Bestemme cnoidal bølgeløsninger til ikke-lineære PDLer.
Bestemme kink, anti-kink og breather løsninger til sine-Gordon ligningen.
At kunne anvende Hirota's bilineær operator metode til løsning af Korteweg-deVries ligning.
At kunne løse de klassiske soliton ligninger med Baecklund transformation.
Udlede reaktions-diffusionsligninger for neuroner.
Forstå invers spredningsteori til generel løsning af Korteweg-deVries ligning.
At kunne analysere perturberede soliton ligninger med approximative analytiske metoder.
At kunne vurdere og fortolke approximative eller numeriske løsninger af ikke-lineære PDLer.
Kursusindhold:
Introduktion til dispersion og ikke-linearitet. De tre klassiske soliton ligninger, Korteweg-de Vries ligningen, sine-Gordon ligningen og den ikke-lineære Schroedinger ligning. Derudover gennemgås ikke-lineær diffusions problemer og diskrete systemer. Invers spredningsteori, Hirotas metode samt Baecklund transformationer. Perturbations metoder for ikke lineære partielle differentialligninger samt computer tekniske metoder. Et gennemgående tema vil være udledning af modeller fra tekniske, fysiske og biologiske systemer.
Litteratur:
Nonlinear Science, Emergence and Dynamics of Coherent Structures. By A.C. Scott, Oxford University Press, 2.ed. 2003.
