- forelæsninger, hvor fundamentale begreber, metoder og resultater fremlægges og sættes i perspektiv, - klasseundervisning, hvor teorien behandles i større detalje og eksemplificeres ved løsning af opgaver, - miniprojekter i form af større samlede opgavesæt.
Kursets varighed:
3-uger
Evalueringsform:
Hjælpemidler:
Bedømmelsesform:
Pointspærring:
Ønskelige forudsætninger:
Overordnede kursusmål:
Alle videregående matematiske discipliner, der anvendes ved modellering af kontinuerte fænomener, bygger på et fælles grundlag, der bl.a. omhandler metriske (topologiske) strukturer i punktmængder og de metriske strukturers samspil med lineære strukturer i normerede vektorrum. Det er hensigten med kurset at udbygge den viden der er opnået om matematisk analyse og lineær algebra i Matematik 1 og Matematik 2 med nogle fundamentale generelle begrebsdannelser vedrørende metriske og lineære strukturer. Derved tilvejebringes et effektivt matematisk grundlag for arbejdet med abstrakte ingeniørfaglige problemstillinger. Samtidigt opnås et godt matematisk grundlag for en række videregående kurser og for studier af nyere litteratur i matematik og de teoretiske ingeniørvidenskaber.
Læringsmål:
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
Omsætte intuitive begrebsdannelser vedrørende kontinuitet og konvergens til stringent matematik.
Konstruere matematiske beviser af metodisk karakter.
Operere og argumentere med abstrakte afstandsbegreber.
Udnytte viden om punktmængders topologi i studiet af ekstremalforhold for kontinuerte funktioner.
Arbejde med abstrakte normer i vektorrum og kunne vælge en egnet norm i et konkret problem.
Identificere lineære operatorer i konkrete situationer.
Bestemme operatornomen for en lineær afbildning i simple situationer.
Udnytte og forstå sammenhængen mellem differentiabilitet og lineær tilnærmelse.
Kursusindhold:
De tre uger struktureres omkring tre læringsmoduler af hver en uges varighed.
Metrisk Topologi: Topologi i de reelle talrum og i metriske rum. Konvergens af følger, Kontinuitet af funktioner, Kompakthedsbegrebet. Herunder konkret indføring i metoder til bevisførelse i matematikken.
Analyse i normerede vektorrum: Normerede vektorrum, Fuldstændighed, Sætninger om kompakte mængder og ekstremumsegenskaber for kontinuerte funktioner på kompakte mængder.
Linearitet og differentiabilitet: Lineære operatorer, Kontinuitet af lineære operatorer, Differentiabilitet i normerede vektorrum, Den generelle kæderegel.
Litteratur::
Vagn Lundsgaard Hansen: "Entrance to Advanced Mathematics: The metric foundations of modern analysis", Institut for Matematik, 2008.
