02975 Introduktion til Bayesianske inverse problemer

2024/2025

Kurset udbydes hvert andet år i juni, dvs. juni 2024, juni 2026, etc.
Kursusinformation
Introduction to Bayesian inverse problems
Engelsk
5
Ph.d., Fagligt fokuseret kursus
Kurset udbydes som enkeltfag
Juni
Kurset udbydes hvert andet år i juni, dvs. juni 2024, juni 2026, etc.
Campus Lyngby
Forelæsninger og øvelser med teori og beregninger. Projektarbejde ved kursets afslutning.
3-uger
Sidste dag(e) i 3-ugersperioden
Mundtlig eksamen og bedømmelse af rapport(er)
Alle hjælpemidler - uden adgang til internettet
bestået/ikke bestået , intern bedømmelse
Erfaring med sandsynlighedsteori (fx 02405), inverse problemer (fx 02624), numeriske beregninger (fx 02601), funktionalanalyse (fx 01715) er en fordel.
Yiqiu Dong , Lyngby Campus, Bygning 303B, Tlf. (+45) 4525 3108 , yido@dtu.dk
Per Christian Hansen , Lyngby Campus, Bygning 303B, Tlf. (+45) 4525 3097 , pcha@dtu.dk
01 Institut for Matematik og Computer Science
I studieplanlæggeren
Overordnede kursusmål
Bayesianske inversion er den matematiske teknologi der beskriver hvordan vi karakteriserer og vurderer usikkerheder i praktiske beregningsmodeller. Dette involverer både teori og beregningsmetoder på tværs af stokastisk analyse, statistiske modeller og scientific computing. Den Bayesianske tilgang, og de tilknyttede teknikker, gør det muligt at give en konsistent kvantificering af usikkerhederne vha. sandsynlighedsfordelinger.

Dette kursus giver en introduktion til state-of-the-art Bayesianske inversionsmetoder til kvantificering og reduktion af usikkerhederne i beregningsmodellerne. Ved at kvantificere usikkerheden kan vi opnå bedre forståelse af risici og give stærkere støtte til beslutninger. Kurset given den nødvendige matematiske baggrund for forståelse af teori og metoder i Bayesian inversion, og stoffet vil blive illustreret med Python computer-øvelser. Det er relevant for studerende i både anvendt matematik og ingeniørvidenskab.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
  • Formulere og modellere inverse problemer.
  • Anvende Monte Carlo-metoder og vurdere deres konvergens.
  • Diskretisere kontinuerlige stokastiske variable ved Karhunen-Loéve-ekspansion.
  • Anvende en statistisk tilgang til at løse inverse problemer (fx. via ”maximum likelihood”-estimering).
  • Beskrive modellerings- og beregnings-elementer af den Bayesiansk tilgang til inverse problemer.
  • Formulere forskellige typer støjmodeller og priors (fx konjugerede priors).
  • Beskrive relevante Bayesianske strategier og implementere de tilsvarede beregingsmetoder for praktiske problemer (fx Markov chain Monte Carlo).
  • Fortolke og forstå usikkerhedskvantificering (UQ) resultater.
  • Bruge softwarepakken CUQIpy.
Kursusindhold
Kurset beskriver fundamentale aspekter of Bayesianske inversion. Vægten ligger på både beregningsmetoder (fx Monte Carlo, ”random field”-diskretisering, Markov chain Monte Carlo) og teoretiske aspekter (fx simple beviser, konvergensegenskaber, well-posedness).

Vi starter med en generel introduktion til Bayesiansk ramme og sandsynlighedsteori, via simple eksempler som viser hvad Bayesiansk tilgang er, og hvad vi bruger det til. Vi vil også dække Monte Carlo-metoder til simulering af stokastiske variable og estimering. Hovedemnet for kurset er Bayesiansk tilgang for inverse problemer – vi vil præsentere simple inverse problemer samt den statistiske tilgang til at løse dem med vægt på Bayesiansk inferens, dvs. hvordan likelihood/​støj-modeller og priors indgår som elementer af regularisering. Løsningen af Bayesianske inverse problemer, i form af statistiske posteriors, beregnes vha. Markov chaing Monte Carlo-sampling.

Vi beskriver også hvorledes inverse problemer formuleres og løses i en statisktisk ramme ved hjælp af softwarepakken CUQIpy, og vi gennemgår hvorledes brugeren efter behov kan justere beregningsmetoderne i denne pakke.

Målet med kurset er at give praktisk erfaring, dvs. de studerende vil lære at anvende metoder og fortolke resultaterne, og derfor vil forelæsningerne blive fulgt op med praktiske øvelser.
Sidst opdateret
02. maj, 2024