Overordnede kursusmål
Bayesianske inversion er den matematiske teknologi der beskriver
hvordan vi karakteriserer og vurderer usikkerheder i praktiske
beregningsmodeller. Dette involverer både teori og
beregningsmetoder på tværs af stokastisk analyse, statistiske
modeller og scientific computing. Den Bayesianske tilgang, og de
tilknyttede teknikker, gør det muligt at give en konsistent
kvantificering af usikkerhederne vha. sandsynlighedsfordelinger.
Dette kursus giver en introduktion til state-of-the-art Bayesianske
inversionsmetoder til kvantificering og reduktion af usikkerhederne
i beregningsmodellerne. Ved at kvantificere usikkerheden kan vi
opnå bedre forståelse af risici og give stærkere støtte til
beslutninger. Kurset given den nødvendige matematiske baggrund for
forståelse af teori og metoder i Bayesian inversion, og stoffet vil
blive illustreret med Python computer-øvelser. Det er relevant for
studerende i både anvendt matematik og ingeniørvidenskab.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
- Formulere og modellere inverse problemer.
- Anvende Monte Carlo-metoder og vurdere deres konvergens.
- Diskretisere kontinuerlige stokastiske variable ved
Karhunen-Loéve-ekspansion.
- Anvende en statistisk tilgang til at løse inverse problemer
(fx. via ”maximum likelihood”-estimering).
- Beskrive modellerings- og beregnings-elementer af den
Bayesiansk tilgang til inverse problemer.
- Formulere forskellige typer støjmodeller og priors (fx
konjugerede priors).
- Beskrive relevante Bayesianske strategier og implementere de
tilsvarede beregingsmetoder for praktiske problemer (fx Markov
chain Monte Carlo).
- Fortolke og forstå usikkerhedskvantificering (UQ)
resultater.
- Bruge softwarepakken CUQIpy.
Kursusindhold
Kurset beskriver fundamentale aspekter of Bayesianske inversion.
Vægten ligger på både beregningsmetoder (fx Monte Carlo, ”random
field”-diskretisering, Markov chain Monte Carlo) og teoretiske
aspekter (fx simple beviser, konvergensegenskaber, well-posedness).
Vi starter med en generel introduktion til Bayesiansk ramme og
sandsynlighedsteori, via simple eksempler som viser hvad Bayesiansk
tilgang er, og hvad vi bruger det til. Vi vil også dække Monte
Carlo-metoder til simulering af stokastiske variable og estimering.
Hovedemnet for kurset er Bayesiansk tilgang for inverse problemer –
vi vil præsentere simple inverse problemer samt den statistiske
tilgang til at løse dem med vægt på Bayesiansk inferens, dvs.
hvordan likelihood/støj-modeller og priors indgår som elementer af
regularisering. Løsningen af Bayesianske inverse problemer, i form
af statistiske posteriors, beregnes vha. Markov chaing Monte
Carlo-sampling.
Vi beskriver også hvorledes inverse problemer formuleres og løses i
en statisktisk ramme ved hjælp af softwarepakken CUQIpy, og vi
gennemgår hvorledes brugeren efter behov kan justere
beregningsmetoderne i denne pakke.
Målet med kurset er at give praktisk erfaring, dvs. de studerende
vil lære at anvende metoder og fortolke resultaterne, og derfor vil
forelæsningerne blive fulgt op med praktiske øvelser.
Sidst opdateret
02. maj, 2024