01418 Introduktion til partielle differentialligninger
2024/2025
Overordnede kursusmål
Formålet med kurset er at sætte deltagerne i stand til at opstille,
studere og løse problemer med partielle differentialligninger ved
brug af metoder og værktøjer fra den matematiske analyse.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
- Modellere simple problemstillinger ved brug af partielle
differentialligninger
- Løse begyndelses-/randværdiproblemer for diffusionsligningen i
simple geometrier
- Løse begyndelses-/randværdiproblemer for bølgeligningen i
simple geometrier
- Løse randværdiproblemer for Laplaces ligning i simple
geometrier
- Anvende karakteristiske kurver til løsning af førsteordens
skalære semilineære og kvasilineære
differentialligningsproblemer
- Anvende separation af de variable til at transformere et
partielt differentialligningsproblem i en simpel geometri til et
sæt af sædvanlige differentialligningsproblemer
- Anvende operator-faktorisering til løsning af
begyndelsesværdiproblemer for andenordens lineære hyperbolske
differentialligninger i to dimensioner
- Anvende Fourierrækker til løsning af partielle
differentialligningsproblemer
- Analysere partielle differentialligningsproblemer og uddrage
kvalitativ information om løsningernes opførsel
- Redegøre for grundlæggende distributionsteoretiske begreber og
fakta
- Opstille og løse svage formuleringer af udvalgte PDE
problemer
Kursusindhold
Lineære partielle differentialligninger (PDE). Semilineære og
kvasilineære ligninger. Bølgeligningen. Varme- og
diffusionsligningen. Laplace og Poisson ligningen.
Inhomogeniteter/kilder. Begyndelses- og randværdiproblemer.
Udvikling af løsninger via orthonormale rækker. Faktorisering af
operatorer. Karakteristikker. Fouriertransformationen med relevante
funktionsrum. Indledende distributionsteori. Udbredelse af
singulariteter i løsninger. Energibevarelse i løsninger.
Maksimumsprincipper for løsninger. Svage formuleringer og svage
løsninger af differentialligningsproblemer. Poisson kernel og heat
kernel.
Sidst opdateret
02. maj, 2024