01238 Differentialgeometri

2024/2025

Kursusinformation
Differential Geometry
Engelsk
5
Kandidat
Kurset udbydes som enkeltfag
Generel retningskompetence (MSc), Mathematical Modelling and Computation
Retningsspecifikt kursus (MSc), Mathematical Modelling and Computation
Teknologisk specialisering (MSc), Mathematical Modelling and Computation
F2B (tors 8-12)
Campus Lyngby
Hver uge: to timers forelæsning og to timers øvelser.
13-uger
F2B
Skriftlig eksamen og bedømmelse af opgave(r)
Hjemmeopgaver og 4-timers skriftlig eksamen. Hjemmeopgavesættene tæller 40% af den endelige karakter, den skriftlige eksamen tæller 60% af den endelige karakter.
Skriftlig eksamen: 4 timer
Alle hjælpemidler - med adgang til internettet
7-trins skala , intern bedømmelse
01125/01237 , Grundlæggende begreber og resultater fra matematisk analyse, geometri, og lineær algebra forudsættes bekendt.
Steen Schyum Markvorsen , Lyngby Campus, Bygning 303B, Tlf. (+45) 4525 3049 , stema@dtu.dk
David Brander , Lyngby Campus, Bygning 303B, Tlf. (+45) 4525 3052 , dbra@dtu.dk
Jens Karl Gravesen , Lyngby Campus, Bygning 303B, Tlf. (+45) 4525 3064 , jgra@dtu.dk
Peter Røgen , Lyngby Campus, Bygning 303B, Tlf. (+45) 4525 3044 , prog@dtu.dk
01 Institut for Matematik og Computer Science
I studieplanlæggeren
12.01.
Kontakt underviseren for information om hvorvidt dette kursus giver den studerende mulighed for at lave eller forberede et projekt som kan deltage i DTUs studenterkonference om bæredygtighed, klimateknologi og miljø (GRØN DYST). Se mere på http://www.groendyst.dtu.dk
Overordnede kursusmål
Målet med kurset er med udgangspunkt i de grundlæggende lokale koordinat-repræsentationer af generelle Riemannske mangfoldigheder at skabe og anvende en robust teoretisk baggrund for studiet af global geometrisk analyse på mangfoldigheder samt for en lang række avancerede anvendelser af differentialgeometriske metoder og resultater.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
  • Beskrive og anvende lokale kort (og diffeomorfe kort-skift) for Riemannske mangfoldigheder, især med henblik på at repræsentere de Riemannske metrikker som konkrete indicatrix-felter i kort-domænet.
  • Beskrive, genkende, og anvende isometrier og konforme afbildninger mellem Riemannske mangfoldigheder.
  • Beskrive og anvende tangentrum, vektorfelter som derivationer og deres integralkurver som deformationsafbildninger (flow maps).
  • Bestemme og benytte Lie-afledet, gradient, divergens, Hessiant, og Laplace operatorer på Riemannske mangfoldigheder.
  • Anvende tensorbegrebet til håndtering af multilineære sammenhænge især i forbindelse med krumningstensoren og dens kontraktioner.
  • Forklare og anvende Levi-Civita konnektionen i en Riemannsk mangfoldighed.
  • Forklare indre-geometriske egenskaber ved paralleltransport på flader og i Riemannske mangfoldigheder.
  • Bestemme geodætiske kurver og eksponential-afbildningen og logaritme-afbildningen for givne Riemannske mangfoldigheder.
  • Forklare opstilling og betydning af krumningstensoren, Ricci-krumningen, snitkrumningen, og skalarkrumningen for Riemannske mangfoldigheder.
  • Anvende første og anden variation af buelængden til opnåelse af globale geometriske og topologiske konsekvenser af begrænsninger på krumningstensorerne.
  • Håndtere simple udvidelser af ovennævnte elementer fra Riemannsk geometri til Lorentz og Finsler mangfoldigheder.
  • Anvende differentialgeometriske begreber og metoder i et bredt spektrum af moderne og signifikante modellerings-scenarier.
Kursusindhold
Diffeomorfier; tangentrum; metriske tensorer; Poincaré modeller; isometrier; Lie-afledet; Killing vector-felter; Levi-Civita konnektionen; covariant afledet; parallel transport; geodætiske kurver; vindellinjer og cirkler i Riemannske 3-mangfoldigheder; fundamentale differential-operatorer; Laplace ligningen; Exponential-afbildningen; Logaritme-afbildningen; første og anden variation af buelængde-funktionalet; geodætiske kugler og kugleflader og deres volumener; krumningsoperatoren; krumningstensoren; snitkrumning; Ricci krumning; skalar krumning; Einstein tensoren; simple anvendelser i Newton'sk mekanik, almen relatvitetsteori, kosmologi, og til Finsler geometrisk analyse af anisotrope fænomener.
Litteraturhenvisninger
Kurset er i al væsentlighed baseret på noter skrevet af S. Markvorsen, DTU Compute.

Manfredo P. doCarmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, 1992.

John M. Lee: Introduction to Riemannian Manifolds; 2. ed. Springer, 2018.

Manfredo P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces.
Dover Publications Inc.; 2 edition, 2017.

Barret O'Neill: Semi-Riemannian Geometry. Academic Press, 1983.
Sidst opdateret
02. maj, 2024