Overordnede kursusmål
Målet med kurset er med udgangspunkt i de grundlæggende lokale
koordinat-repræsentationer af generelle Riemannske mangfoldigheder
at skabe og anvende en robust teoretisk baggrund for studiet af
global geometrisk analyse på mangfoldigheder samt for en lang række
avancerede anvendelser af differentialgeometriske metoder og
resultater.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
- Beskrive og anvende lokale kort (og diffeomorfe kort-skift) for
Riemannske mangfoldigheder, især med henblik på at repræsentere de
Riemannske metrikker som konkrete indicatrix-felter i
kort-domænet.
- Beskrive, genkende, og anvende isometrier og konforme
afbildninger mellem Riemannske mangfoldigheder.
- Beskrive og anvende tangentrum, vektorfelter som derivationer
og deres integralkurver som deformationsafbildninger (flow
maps).
- Bestemme og benytte Lie-afledet, gradient, divergens, Hessiant,
og Laplace operatorer på Riemannske mangfoldigheder.
- Anvende tensorbegrebet til håndtering af multilineære
sammenhænge især i forbindelse med krumningstensoren og dens
kontraktioner.
- Forklare og anvende Levi-Civita konnektionen i en Riemannsk
mangfoldighed.
- Forklare indre-geometriske egenskaber ved paralleltransport på
flader og i Riemannske mangfoldigheder.
- Bestemme geodætiske kurver og eksponential-afbildningen og
logaritme-afbildningen for givne Riemannske mangfoldigheder.
- Forklare opstilling og betydning af krumningstensoren,
Ricci-krumningen, snitkrumningen, og skalarkrumningen for
Riemannske mangfoldigheder.
- Anvende første og anden variation af buelængden til opnåelse af
globale geometriske og topologiske konsekvenser af begrænsninger på
krumningstensorerne.
- Håndtere simple udvidelser af ovennævnte elementer fra
Riemannsk geometri til Lorentz og Finsler mangfoldigheder.
- Anvende differentialgeometriske begreber og metoder i et bredt
spektrum af moderne og signifikante
modellerings-scenarier.
Kursusindhold
Diffeomorfier; tangentrum; metriske tensorer; Poincaré modeller;
isometrier; Lie-afledet; Killing vector-felter; Levi-Civita
konnektionen; covariant afledet; parallel transport; geodætiske
kurver; vindellinjer og cirkler i Riemannske 3-mangfoldigheder;
fundamentale differential-operatorer; Laplace ligningen;
Exponential-afbildningen; Logaritme-afbildningen; første og anden
variation af buelængde-funktionalet; geodætiske kugler og
kugleflader og deres volumener; krumningsoperatoren;
krumningstensoren; snitkrumning; Ricci krumning; skalar krumning;
Einstein tensoren; simple anvendelser i Newton'sk mekanik,
almen relatvitetsteori, kosmologi, og til Finsler geometrisk
analyse af anisotrope fænomener.
Litteraturhenvisninger
Kurset er i al væsentlighed baseret på noter skrevet af S.
Markvorsen, DTU Compute.
Manfredo P. doCarmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, 1992.
John M. Lee: Introduction to Riemannian Manifolds; 2. ed. Springer,
2018.
Manfredo P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces.
Dover Publications Inc.; 2 edition, 2017.
Barret O'Neill: Semi-Riemannian Geometry. Academic Press, 1983.
Sidst opdateret
02. maj, 2024