Overordnede kursusmål
Kurset forbinder teoretien for differentialligninger drevet af støj
med teorien for molekylær diffusion. Det sætter den studerende i
stand til at bygge og undersøge modeller af hvordan støj og
usikkerhed propagerer gennem dynamiske systemer. Dette kan bruges
for tidsrækkeanalse, og for dynamisk beslutningsteori under
usikkerhed, d.v.s. stokastisk kontrolteori. Kurset indeholder teori
for stokastiske differentialligninger, stokastisk analyse, og
anvendelser til ingeniørproblemer.
Læringsmål
En studerende, der fuldt ud har opfyldt kursets mål, vil kunne:
- Definere og beskrive diffusion og Brownsk bevægelse
- Beregne stokastiske integraler, først og fremmest
Ito-integraler, og anvende reglerne fra stokastisk analyse
- Bygge stokastiske dynamiske modeller ved at kombinere
sædvanlige differentialligninger med modeller af hvordan støj
påvirker systemet.
- Forklare hvordan en given stokastisk differentialligninger
svarer til en bestemt transportligning af
advektions/diffusionstype
- Undersøge egenskaberne for en stokastisk differentialligninger
hvad angår trajektorier og overgangssandsynligheder, både analytisk
og numerisk.
- Implementere et tilstandsestimationsfilter for at analysere
tidsrækker baseret på en stokastisk differentialligning
- Identificere den optimale strategi til at styre et system under
tilstædeværelse af støj
- Evaluere vigtigheden af at inkludere støj i studiet af et givet
system
Kursusindhold
Kurset starter med advektiv og diffusive transport, og Monte Carlo
simulering af et molekyle i en væskestrøm. Vi vender os derefter
mod Brownsk bevægelse og stokastiske integraler, og etablerer
Ito-integralet. Vi definerer stokastiske differentialligninger og
dækker analytiske og numeriske teknikker til at løse dem. Vi
beskriver overgangssandsynlighederne for løsninger til sde'er,
og etablerer Kolmogorovs fremad- og bagudligninger, inklusiv
randbetingelser/randadfærd. Vi betragter stokastisk filtrering i
sde'er med målinger i diskret tid, stokastisk stabilitet, og
stokastisk kontrol. Teorien er illustreret med anvendelser i
ingeniørfagene, fysik, biologi, og oceanografi.
Litteraturhenvisninger
U.H. Thygesen: Stochastic Differential Equations for Science and
Engineering. CRC Press, 2023.
Supplerende litteratur er B. Øksendal: Stochastic differential
equations: An introduction with applications. Springer, 2010.
Sidst opdateret
04. maj, 2026
